《九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）》专题14 构造直角三角形解决实际问题（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 14 构造直角三角形解决实际问题
典例题型一 背靠式
1．（2020•磴口县校级三模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼
底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼高　 160
√
3
　m（结果保留根号）．
【点睛】过 A作AD⊥BC，垂足为 D，在直角△ABD 与直角△ACD 中，根据三角函数即可求得 BD 和
CD，即可求解．
【详解】解：过 A作AD⊥BC，垂足为 D，如图所示：
在Rt△ABD 中，
∵∠BAD＝30°，AD＝120m，
∴BD＝AD•tan30°＝120
×
√
3
3
=¿
40
√
3
m，
在Rt△ACD 中，
1
∵∠CAD＝60°，AD＝120m，
∴CD＝AD•tan60°＝120
×
√
3=¿
120
√
3
m，
BC＝BD+CD＝160
√
3
m．
即这栋楼高为 160
√
3
m．
故答案为：160
√
3
．
2．（2020•宁夏）一艘货轮以 18
km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至 A处时，发现它的东
南方向有一灯塔 B，货轮继续向东航行 30 分钟后到达 C处，发现灯塔 B在它的南偏东 15°方向，则此时
货轮与灯塔 B的距离是　 18 　 km．
【点睛】作 CE⊥AB 于E，根据题意求出 AC 的长，根据正弦的定义求出 CE，根据三角形的外角的性质
求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：作 CE⊥AB 于E，
18
√
2
km/h×30 分钟＝9
√
2
km，
∴AC＝9
√
2
km，
∵∠CAB＝45°，
∴CE＝AC•sin45°＝9km，
2
∵灯塔 B在它的南偏东 15°方向，
∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°，
∴∠B＝30°，
∴BC
¿CE
sin ∠B
=9
1
2
=18
km，
故答案为：18．
典例题型二 共边式
3．（2020•安徽二模）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱 AC 的高为 12 米，灯杆 AB 与灯柱 AC 的夹角
∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 21 米，从 D，E两处测得路灯 B的仰角
分别为 α和β，且 tanα＝6，tanβ
¿3
4
，求灯杆 AB 的长度．
【点睛】过点 B作BF⊥CE，交 CE 于点 F，过点 A作AG⊥BF，交 BF 于点 G，则 FG＝AC＝12．设 BF
＝3x知EF＝4x、DF
¿BF
tan ∠BDF
，由 DE＝21 求得 x，据此知 BG＝BF﹣GF，再求得∠BAG＝∠BAC
﹣∠CAG＝30°可得 AB＝2BG．
【详解】解：过点 B作BF⊥CE，交 CE 于点 F，过点 A作AG⊥BF，交 BF 于点 G，则 FG＝AC＝12．
3
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