《九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）》专题08 相似与四边形（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 08 相似与四边形
典例题型一 平行四边形中的相似三角形
1．（2020•道外区校级月考）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E在边 BC 上，点 F在边 AD 的延长线上，
且DF＝BE，FE 与CD 交于点 G．若
DG
CG =2
3
，BE＝4，则 EC 的长为　 6 　 ．
【点睛】首先证明四边形 BEFD 是平行四边形，由△DFG∽CEG，可得
DG
CG =DF
CE
，由此即可解决问
题．
【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF＝BE，
∴四边形 BEFD 是平行四边形，
∴DF＝BE＝4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴
DG
CG =DF
CE
，
∴CE
¿DF ⋅CG
DG =¿
4
×3
2
=¿
6．
1
故答案为 6．
2．（2020•东坡区期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，E为AB 的中点，F为AD 上一点，EF 交AC 于点
G，AF＝4cm，DF＝8cm，AG＝6cm，则 AC 的长为　 30 cm 　 ．
【点睛】延长 FG 交CB 的延长线于点 H．根据平行四边形的性质，得 BC＝AD＝12cm，BC∥AD．根据
AAS 可以证明△AFE≌△BHE，则 BH＝AF＝4cm，再根据 BC∥AD，得
AG
CG =AF
CH
，求得 CG 的长，从
而求得 AC 的长．
【详解】解：延长 FG 交CB 的延长线于点 H．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，BC∥AD．
∴∠EAF＝∠EBH，∠AFE＝∠BHE，
又AE＝BE，
∴△AFE≌△BHE（AAS），
2
∴BH＝AF＝4cm．
∵BC∥AD，
∴
AG
CG =AF
CH
，
即
，
则CG＝24，
则AC＝AG+CG＝30（cm）．
故答案为 30cm．
3．（2020•丹东期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，在 DC 的延长线上取
一点 E，连接 OE 交BC 于点 F，AB＝2，BC＝3，CE＝1，则 CF＝　
3
4
　．
【点睛】过 O作OM∥BC 交CD 于M，根据平行四边形的性质得到 BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝
6，根据三角形的中位线的性质得到 CM
¿1
2
CD＝2，OM
¿1
2
BC＝3，通过△CFE∽△EMO，根据相似三角
形的性质得到
CF
OM =CE
EM
，代入数据即可得到结论．
【详解】解：过 O作OM∥BC 交CD 于M，
3
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