《九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）》专题06 证明比例式与乘积式的技巧（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 06 证明比例式与乘积式的技巧
典例题型一 构造平行线法
1．（2020•武威模拟）如图，已知 EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）求证：OA2＝OE•OF．
【点睛】（1）由 EC∥AB 可得出∠EDA＝∠DAB，结合∠EDA＝∠ABF 可得出∠DAB＝∠ABF，根据
“内错角相等，两直线平行”可得出 AD∥BC，再结合 DC∥AB 即可得出四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 由 EC∥AB 可 得 出 △ OAB∽△OED ， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 出
OA
OE =OB
OD
， 同 理 可 得 出
OB
OD =OF
OA
，进而即可得出
OA
OE =OF
OA
，即 OA2＝OE•OF．
【详解】证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA＝∠DAB．
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠ABF，
∴AD∥BC．
∵DC∥AB，
1
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴
OA
OE =OB
OD
．
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴
OB
OD =OF
OA
，
∴
OA
OE =OF
OA
，
∴OA2＝OE•OF．
2．（2020•肥城市期末）△ABC，点 D是AB 的中点，过点 D任作一条直线 DF，交 BC 的延长线于 F点，
交AC 于E点；求证：AE•CF＝BF•EC．
【点睛】过 C做CM∥AB，交 DF 于点 M，证明△CME∽△ADE，△FMC∽△FDB，根据相似三角形的性
质解答．
2
【详解】证明：过 C做CM∥AB，交 DF 于点 M，
∵CM∥AB，
∴△CME∽△ADE，△FMC∽△FDB，
∴
CE
AE =CM
AD
，
，
又∵AD＝BD
∴
CE
AE =CF
BF
，
∴AE•CF＝CE•BF．
典例题型二 三点定形法
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线交 AB 于D，交 BC 延长线于 F，求证：CD2＝
DE•DF．
【点睛】由条件可得 CD＝DA，则有∠A＝∠ECD＝∠F，可证明△CDE∽△FDC，可得
CD
DF =DE
CD
，可
3
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