《九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）》专题02 反比例函数与几何综合（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 02 反比例函数与几何综合
典例题型一 反比例函数与特殊三角形
1．（2020•丹东二模）如图，点 A在反比例函数 y
¿k
x
（x＜0）的图象上，点 B在X轴的负半轴上，AB＝
AO＝13，线段 OA 的垂直平分线交线段 AB 于点 C，△BOC 的周长为 23，则 k的值为（　　）
A．60 B．30 C．﹣60 D．﹣30
【点睛】由线段的中垂线，可得 CA＝CO，再由，△BOC 的周长为 23，可求出 OB 的长，根据等腰三角
形的性质和勾股定理可求出点 A的坐标，进而确定 k的值．
【详解】解：∵点 C在线段 OA 的垂直平分线上，
∴AC＝OC，
∵△BOC 的周长为 23，
∴OB+AB＝23，
又∵AB＝AO＝13，
∴OB＝23 13﹣＝10，
过点 A作AD⊥OB，垂足为 D，
1
∴OD＝BD
¿1
2
OB＝5，
在Rt△AOD 中，AD
¿
√
132−52=¿
12，
∴A（﹣5，12），
∴k＝（﹣5）×12＝﹣60，
故选：C．
2．（2020•晋江市一模）如图，曲线 C2是双曲线 C1：y
¿5
x
（x＞0）绕原点 O逆时针旋转 45°得到的图形，
P是曲线 C2上任意一点，过点 P作直线 PQ⊥l于点 Q，且直线 l的解析式是 y＝x，则△POQ 的面积等于
（　　）
A．
√
5
B．
5
2
C．
7
2
D．5
【点睛】将双曲线逆时针旋转使得 l与y轴重合，则 PQ⊥y轴，应用反比例函数比例系数 k的性质解答
问题．
2
【详解】解：如图，将 C2及直线 y＝x绕点 O逆时针旋转 45°，则得到双曲线 C3，直线 l与y轴重合．
双曲线 C3，的解析式为 y
，
∵PQ⊥l于点 Q，
∴PQ⊥y轴．
由反比例函数比例系数 k的性质可知，S△POQ
¿1
2×
5
¿5
2
故选：B．
3．（2020•岳麓区校级三模）如图，点 A，B在双曲线 y
¿3
x
（x＞0）上，点 C在双曲线 y
¿1
x
（x＞0）上，
若AC∥y轴，BC∥x轴，且 AC＝BC，则 AB 的长为　 2
√
2
　．
【点睛】依据点 C在双曲线 y
¿1
x
（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设 C（a
−1
a
），则 B（3a，
1
a
） ， A（a，
3
a
） ， 依 据 AC ＝BC ， 即 可 得 到
1
a−3
a=¿
3a﹣a， 进 而 得 出 a＝1， 依 据
C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到 AC＝BC＝2，进而得到 Rt△ABC 中，AB＝2
√
2
．
【详解】解：点 C在双曲线 y
¿1
x
（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，
3
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