《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题17 与弧长和扇形面积有关的计算（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 17 与弧长和扇形面积有关的计算
题型一 静态中直接利用公式进行计算
【典例 1】（2019•安徽）如图，已知等边△ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的⊙O与边 AC、BC 分别交于
D、E两点，则劣弧
^
DE
的长为　 π 　 ．
【点拨】连接 OD、OE，先证明△AOD、△BOE 是等边三角形，得出∠AOD＝∠BOE＝60°，求出
∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．
【解析】解：连接 OD、OE，如图所示：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OA＝OD，OB＝OE，
∴△AOD、△BOE 是等边三角形，
∴∠AOD＝∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵OA
¿1
2
AB＝3，
∴
^
DE
的长
¿60 π ×3
180 =¿
π；
故答案为：π．
【典例 2】（2019•德城区一模）如图是一本折扇，其中平面图是一个扇形，扇面 ABDC 的宽度 AC 是管柄
长OA 的一半，已知 OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面 ABDC 的周长为　 30 π +30 　 cm
1
【点拨】根据题意求出 OC，根据弧长公式分别求出 AB、CD 的弧长，根据扇形周长公式计算．
【解析】解：由题意得，OC＝AC
¿1
2
OA＝15，
^
AB
的长
¿120 π ×30
180 =¿
20π，
的长
¿120 π ×15
180 =¿
10π，
∴扇面 ABDC 的周长＝20π+10π+15+15＝30π+30（cm），
故答案为：30π+30．
【典例 3】（2019•盐城）如图，图 1是由若干个相同的图形（图 2）组成的美丽图案的一部分，图 2中，
图形的相关数据：半径 OA＝2cm，∠AOB＝120°．则图 2的周长为　
8π
3
　cm（结果保留 π）．
【点拨】先根据图 1确定：图 2的周长＝2个
^
AB
的长，根据弧长公式可得结论．
【解析】解：由图 1得：
^
AO
的长
+
^
OB
的长
¿
^
AB
的长
∵半径 OA＝2cm，∠AOB＝120°
则图 2的周长为：
240 π ×2
180 =8π
3
故答案为：
8π
3
．
题型二 动态中弧长计算
【典例 4】（2019•益阳模拟）一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么
B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）
2
A．
3π
2
B．
4π
3
C．4 D．2
+3π
2
【点拨】根据题目的条件和图形可以判断点 B分别以 C和A为圆心 CB 和AB 为半径旋转 120°，并且所
走过的两路径相等，求出一个乘以 2即可得到．
【解析】解：如图：BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为 2×弧BB′＝2
×120 π × 1
180 =4
3
π
，
故选：B．
【典例 5】（2019•柯桥区校级模拟）已知一个圆心角为 270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触
地放置，搬动时，先将扇形以 B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当 A、B两
点再次触地时停止，若半圆的半径为 3m，则圆心 O所经过的路线长是　 6 π 　 m．（结果保留 π）
【点拨】O经过的路线是两个半径是 3，圆心角为 45°的弧，平移的距离是半径为 3，圆心角是 270°的弧
长，二者的和就是所求的路线长．
【解析】解：∠AOB＝360° 270°﹣＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBC＝45°，
O旋转的长度是：2
×45 π ×3
180 =3π
2
；
O移动的距离是：
270 π ×3
180 =9π
2
，
则圆心 O所经过的路线长是：
3π
2+9π
2=¿
6π，
故答案为：6π．
【典例 6】（2019•天心区校级自主招生）如图，王虎使一长为 4cm，宽为 3cm 的长方形木板，在桌面上做
无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A位置变化为 A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡
3
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