《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题15 圆与相似（原卷版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优

专题 15 圆与相似

题型一利用相似三角形求线段的长

【典例 1】（2019•泰顺模拟）如图，在锐角△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O交AC 于点 D，过点 D作⊙O

的切线 DE 交边 BC 于点 E，连结 BD．

（1）求证：∠ABD＝∠CDE．

（2）若 AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求 DE 的长．

【典例 2】（2019•乐山）如图，直线 l与⊙O相离，OA⊥l于点 A，与⊙O相交于点 P，OA＝5．C是直线 l

上一点，连结 CP 并延长交⊙O于另一点 B，且 AB＝AC．

（1）求证：AB 是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为 3，求线段 BP 的长．

【典例 3】（2019•乐清市模拟）如图，AB 是半圆 O的直径，半径 OC⊥AB，OB＝4，D是OB 的中点，点

E是弧 BC 上的动点，连接 AE，DE．

（1）当点 E是弧 BC 的中点时，求△ADE 的面积；

（2）若 tan∠AED

¿3

，求 AE 的长；

（3）点 F是半径 OC 上一动点，设点 E到直线 OC 的距离为 m，

①当△DEF 是等腰直角三角形时，求 m的值；

②延长 DF 交半圆弧于点 G，若弧 AG＝弧 EG，AG∥DE，直接写出 DE 的长　　．

【典例 4】（2019•道外区二模）已知：AB 为⊙O直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，点 E为⊙O上一点，

AE=

，BE 与CD 交于点 F．

（1）如图 1，求证：BH＝FH；

（2）如图 2，过点 F作FG⊥BE，分别交 AC、AB 于点 G、N，连接 EG，求证：EB＝EG；

（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 EG 交⊙O于M，连接 CM、BG，若 ON＝1，△CMG 的面积为

6，求线段 BG 的长．

【典例 5】（2019•哈尔滨模拟）四边形 ABCD 内接于⊙O，弦 AC、BD 交于点 E，且∠BAC+∠ACD＝

∠ADC

（1）如图 1，求证：AB＝AD；

（2）如图 2，点 F在

上，弦 BF 交AC 于点 G，交 AD 于点 H，点 K在BD 上，FK∥CD，连接 OK，

若AG＝AH，求证：OK⊥BF；

（3）如图 3，在（2）的条件下，若∠OKD＝∠AED，BE＝6，DE＝10，求⊙O的半径长．

【典例 6】（2019•乐清市模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点 B作BD⊥AB，点

C，D都在 AB 上方，AD 交△BCD 的外接圆⊙O于点 E．

（1）求证：∠CAB＝∠AEC．

（2）若 BC＝3．

①EC∥BD，求 AE 的长．

②若△BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD 的长．

（3）若 BC＝EC

√

，则

S△BCD

S△ACE

=¿

　　．（直接写出结果即可）

题型二利用相似三角形确定线段间的关系

【典例 7】（2019•黄石模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O的直径，过 C作射线 CE 交AB 的延长

线于点 E，且∠BAC＝∠ECB．

（1）求证：CE 是⊙O的切线．

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