《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题15 圆与相似（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 15 圆与相似
题型一 利用相似三角形求线段的长
【典例 1】（2019•泰顺模拟）如图，在锐角△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O交AC 于点 D，过点 D作⊙O
的切线 DE 交边 BC 于点 E，连结 BD．
（1）求证：∠ABD＝∠CDE．
（2）若 AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求 DE 的长．
【点拨】（1）连接 OD，如图，利用切线的性质得∠1+ 2∠＝90°，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，
则∠CDE+ 2∠＝90°，所以∠1＝∠CDE，加上∠ABD＝∠1，从而得到∠ABD＝∠CDE；
（2）作 EF⊥AC 于F，如图，利用∠DEF＝∠A和正切定义得到
DF
EF =¿
2，设 EF＝x，则 DF＝2x，再
计算出 AD＝7，CD＝21，在 Rt△ABD 中计算出 BD＝14，接着证明△CEF∽△CBD，则利用相似比得到
x＝6，然后利用勾股定理计算 DE 的长．
【解析】（1）证明：连接 OD，如图，
∵DE 为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠1+ 2∠＝90°，
∵AB 为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDE+ 2∠＝90°，
∴∠1＝∠CDE，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠1，
∴∠ABD＝∠CDE；
（2）解：作 EF⊥AC 于F，如图，
∵∠ABD＝∠CDE；
∴∠DEF＝∠A，
1
在Rt△DEF 中，tan∠DEF＝tanA＝2
¿DF
EF
，
设EF＝x，则 DF＝2x，
∵AC＝28，AD：DC＝1：3，
∴AD＝7，CD＝21，
在Rt△ABD 中，tanA
¿BD
AD =¿
2，
∴BD＝2AD＝14，
∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴
EF
BD =CF
CD
，即
x
14 =21−2x
21
，解得 x＝6，
∴DF＝12，
在Rt△DEF 中，DE
¿
√
62+1 22=¿
6
√
5
．
【典例 2】（2019•乐山）如图，直线 l与⊙O相离，OA⊥l于点 A，与⊙O相交于点 P，OA＝5．C是直线 l
上一点，连结 CP 并延长交⊙O于另一点 B，且 AB＝AC．
（1）求证：AB 是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 3，求线段 BP 的长．
【点拨】（1）连接 OB，由 AB＝AC 得∠ABC＝∠ACB，由 OP＝OB 得∠OPB＝∠OBP，由 OA⊥l得
∠OAC＝90°，则∠ACB+∠APC＝90°，而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，所以∠OBP+∠ABC＝90°，即
2
∠OBA＝90°，于是根据切线的判定定理得到直线 AB 是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求得 AB ＝4，PC ＝2
√
5
， 过 O作OD⊥PB 于D， 则 PD ＝DB ，通过证得
△ODP∽△CAP，得到
，求得 PD，即可求得 PB．
【解析】（1）证明：如图，连结 OB，则 OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，
AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
而OA⊥l，即∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠CPA＝90°，
即∠ABP+∠OBP＝90°，
∴∠ABO＝90°，
OB⊥AB，
故AB 是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，
而OA＝5，OB＝OP＝3，
由勾股定理，得：AB＝4，
过O作OD⊥PB 于D，则 PD＝DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP，
∴
PD
PA =OP
CP
，
又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，
∴
PC =
√
A C2+A P2=2
√
5
，
∴
PD=OP ⋅PA
CP =3
5
√
5
，
∴
BP=2PD =6
5
√
5
．
3
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