《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题14 与切线相关的证明与计算（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 14 与切线相关的证明与计算
题型一 利用“有切点、连半径、证垂直”来证切线
【典例 1】（2019•张家港市模拟）如图，以△ABC 的BC 边上一点 O为圆心的圆，经过 A、C两点，与 BC
边交于点 E，点 D为CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F．AB＝BF，CF＝4，DF
¿
√
10
．
（1）求证：AB 是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径 r；
（3）设点 P是BA 延长线上的一个动点，连接 DP 交CF 于点 M，交弧 AC 于点 N（N与A、C不重合）．
试问 DM•DN 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．
【点拨】（1）连接 OA，OD，由点 D为CE 的下半圆弧的中点，证得∠EOD＝90°，再证∠BAF＝
∠BFA＝∠DFO，由∠OAD＝∠ODA 可证得∠BAO＝90°，可推出结论；
（2）设⊙O的半径为 r，在 Rt△OFD 中，利用勾股定理可求出半径 r；
（3）连接 CN，CD，求出 DC 的长度，证△DCM∽△DNC，利用相似三角形对应边的比相等，可证得
DM•DN＝DC2，因为 DC 的长度已知，所以可知 DM•DN 为定值，并可求出其值．
【解析】（1）证明：如图 1，连接 OA，OD，
∵D为为 CE 的下半圆弧的中点，EC 为⊙O直径，
∴
^
ED=
^
CD
，
∴∠EOD＝∠COD
¿1
2
×
180°＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，
∴∠BAF+∠OAD＝∠DFO+∠ODA＝90°，
1
∴OA⊥AB，
∴AB 是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为 r，
由（1）知，∠EOD＝90°，
在Rt△OFD 中，
OD＝r，OF＝4﹣r，DF
¿
√
10
，
∴r2+（4﹣r）2＝（
√
10
）2，
解得，r1＝1（舍去），r2＝3，
∴⊙O半径为 3；
（3）如图 2，连接 CN，CD，
在Rt△OCD 中，OC＝OD＝r＝3，
DC
¿
√
O C 2+O D2=¿
3
√
2
，
∵
^
ED=
^
CD
，
∴∠ECD＝∠DNC，
又∵∠CDN＝∠CDN，
∴△DCM∽△DNC，
∴
，
∴DM•DN＝DC2，
∵DC＝（3
√
2
）2＝18，
∴DM•DN 为定值，该定值为 18．
【典例 2】（2019•朝阳区校级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD
2
为直径的⊙O分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N作NE⊥AB，垂足为 E．
（1）求证：NE 与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为
5
2
，AC＝6，则 BN 的长为　 4 　 ．
【点拨】（1）连接 ON，证出 ON∥AB，证明 ON⊥NE 即可；
（2）由直角三角形的性质可求 AB＝10，由勾股定理可求 BC＝8，由等腰三角形的性质可得 BN＝4．
【解析】（1）证明：如图 1，连接 ON，
∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB
¿1
2
AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE 为⊙O的切线；
3
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