《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题11 二次函数与四边形（原卷版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优

专题 11 二次函数与四边形

【典例 1】（2019•浙江模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为 M（1，0），直线 y＝x+m与该二次函数的

图象交于 A，B两点，其中 A点的坐标为（3，4），B点在 y轴上．

（1）求 m的值及这个二次函数的解析式；

（2）在 x轴上找一点 Q，使△QAB 的周长最小，并求出此时 Q点坐标；

（3）若 P（a，0）是 x轴上的一个动点，过 P作x轴的垂线分别与直线 AB 和二次函数的图象交于

D、E两点．

①设线段 DE 的长为 h，当 0＜a＜3时，求 h与a之间的函数关系式；

②若直线 AB 与抛物线的对称轴交点为 N，问是否存在一点 P，使以 M、N、D、E为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，请求出此时 P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【典例 2】（2019•海州区二模）如图，一次函数 y＝x+3 与坐标轴交于 A、C两点，过 A、C两点的抛物线 y

＝ax22﹣x+c与x轴交于另一点 B抛物线顶点为 E，连接 AE．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点 E坐标；

（2）点 P是线段 AE 上的一动点，过点 P作PF 平行于 y轴交 AC 于点 F，连接 EF，求△PEF 面积的最

大值及此时点 P的坐标；

（3）若点 M为坐标轴上一点，点 N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使 A、E、M、N为顶点的

四边形是以 AE 为对角线的矩形？如果存在，请直接写出 N点坐标；若不存在，请说明理由．

【典例 3】（2020•颍州区一模）如图，抛物线 y

¿−1

x2+31

x1﹣ 与 y轴交于点 A，点 B是抛物线上的一点，

过点 B作BC⊥x轴于点 C，且点 C的坐标为（9，0）．

（1）求直线 AB 的表达式；

（2）若直线 MN∥y轴，分别与抛物线，直线 AB，x轴交于点 M、N、Q，且点 Q位于线段 OC 之间，

求线段 MN 长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当四边形 MNCB 是平行四边形时，求点 Q的坐标．

【典例 4】（2019•渝中区校级一模）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y

¿−1

−7

x3﹣ 交 x轴于

A，B两点（点 A在点 B的左侧），交 y轴于点 C

（1）求直线 AC 的解析式；

（2）点 P是直线 AC 上方抛物线上的一动点（不与点 A，点 C重合），过点 P作PD⊥x轴交 AC 于点

D，求 PD 的最大值；

（3）将△BOC 沿直线 BC 平移，点 B平移后的对应点为点 B′，点 O平移后的对应点为点 O′，点 C平移

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