《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题11 二次函数与四边形（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 11 二次函数与四边形
【典例 1】（2019•浙江模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为 M（1，0），直线 y＝x+m与该二次函数的
图象交于 A，B两点，其中 A点的坐标为（3，4），B点在 y轴上．
（1）求 m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在 x轴上找一点 Q，使△QAB 的周长最小，并求出此时 Q点坐标；
（3）若 P（a，0）是 x轴上的一个动点，过 P作x轴的垂线分别与直线 AB 和二次函数的图象交于
D、E两点．
①设线段 DE 的长为 h，当 0＜a＜3时，求 h与a之间的函数关系式；
②若直线 AB 与抛物线的对称轴交点为 N，问是否存在一点 P，使以 M、N、D、E为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请求出此时 P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）将 A点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和 m的值；
（2）使△QAB 的周长最小，即是求 AQ+BQ 的值最小，作出 B点关于 x轴的对称点 B′，当 A、Q、B′三
点在一条直线上时，△QAB 的周长最小；
（3）①根据 P点坐标分别求出 DE 两点坐标，便可求出 h与a之间的函数关系式；
②存在，P点坐标为（
3+
√
17
2
，0），（
3−
√
17
2
，0）．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x1﹣ ）2，
∵点 A（3，4）在抛物线上，则 4＝a（3 1﹣ ）2，
解得 a＝1，
∴抛物线的解析式为 y＝（x1﹣ ）2
∵点 A（3，4）也在直线 y＝x+m，即 4＝3+m，
解得 m＝1；
（2）直线 y＝x+1 与y轴的交点 B的坐标为 B（0，1），
B点关于 x轴的对称点 B′点的坐标为 B′（0，﹣1），
设直线 AB′的解析式为 y＝kx+b，
1
将A、B′两点坐标代入 y＝kx+b，
解得 k
¿5
3
，b＝﹣1，
∴设直线 AB 的解析式为 y
¿5
3
x1﹣ ，
当A、Q、B′三点在一条直线上时，
AQ+BQ 的值最小，即△QAB 的周长最小，
Q点即为直线 AB′与x轴的交点．
Q点坐标为
Q(3
5，0)(3分)
（3）①已知 P点坐标为 P（a，0），则 E点坐标为 E（a，a22﹣a+1），D点坐标为 D（a，a+1），
h＝DE＝yD﹣yE＝a+1﹣（a22﹣a+1）＝﹣a2+3a，
∴h与a之间的函数关系式为 h＝﹣a2+3a（0＜a＜3）（3分）
②存在一点 P，使以 M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形
理由是∵M（1，0），
∴把 x＝1代入 y＝x+1 得：y＝2，
即N（1，2），
∴MN＝2，
要使四边形 NMED 是平行四边形，必须 DE＝MN＝2，
由①知 DE＝|﹣a2+3a|，
∴2＝|﹣a2+3a|，
解得：a1＝2，a2＝1，a3
¿3+
√
17
2
，a4
¿3−
√
17
2
，
∴（2，0），（1，0）（因为和 M重合，舍去）（
，0），（
3−
√
17
2
，0）
∴P的坐标是（2，0），（
3+
√
17
2
，0），（
3−
√
17
2
，0）．
【典例 2】（2019•海州区二模）如图，一次函数 y＝x+3 与坐标轴交于 A、C两点，过 A、C两点的抛物线 y
＝ax22﹣x+c与x轴交于另一点 B抛物线顶点为 E，连接 AE．
2
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点 E坐标；
（2）点 P是线段 AE 上的一动点，过点 P作PF 平行于 y轴交 AC 于点 F，连接 EF，求△PEF 面积的最
大值及此时点 P的坐标；
（3）若点 M为坐标轴上一点，点 N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使 A、E、M、N为顶点的
四边形是以 AE 为对角线的矩形？如果存在，请直接写出 N点坐标；若不存在，请说明理由．
【 点 拨 】 （1） 一 次 函数 y＝x+3 与 坐 标轴 交 于 A、C两 点 ，则 点 A、C的 坐 标 为 （ ﹣ 3，0） 、
（0，3），将点 A、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）S△PEF
¿1
2
PF×（xE﹣x）
¿1
2×
（2x+6﹣x3﹣ ）（﹣1﹣x）
¿−1
2
（x+3）（x+1），即可求解；
（3）分点 M（m，0）在 x轴上、点 M在y轴上两种情况分别求解．
【解析】解：（1）一次函数 y＝x+3 与坐标轴交于 A、C两点，则点 A、C的坐标为（﹣3，0）、
（0，3），
将点 A、C的坐标代入二次函数表达式得：
{
0=9a+6+c
c=3
，解得：
{
a=−1
c=3
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x22﹣x+3，
顶点 E（﹣1，4）；
（2）将点 A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 AE 的表达式为：y＝2x+6，
设点 P（x，2x+6），则点 F（x，x+3），
S△PEF
¿1
2
PF×（xE﹣x）
¿1
2×
（2x+6﹣x3﹣ ）（﹣1﹣x）
¿−1
2
（x+3）（x+1），
当x＝﹣2时，S△PEF 有最大值为
1
2
，
此时点 P（﹣2，2）；
（3）点 A、E的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE2＝20，
3
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