《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题10 二次函数与特殊三角形（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 10 二次函数与特殊三角形
【典例 1】（2019•长春模拟）在平面直角坐标系中，点 A（1，0），点 B在x轴上，以点 B为直角顶点作
等腰直角△ABC，当点 C落在某函数的图象上时，称点 C为该函数的“悬垂点”，△ABC 为该函数的
“悬垂等腰直角三角形”．
（1）若点 C是函数 y
¿1
2
x+3 的悬垂点，直接写出点 C的横坐标为　 8
或
−4
3
　；
（2）若反比例函数 y
¿k
x
（k＞0）的悬垂等腰直角三角形面积是 2，求 k的值．
（3）对于函数 y＝x25﹣x+7，当 1≤x≤n（n＞1）时，该函数的悬垂点只有一个，求 n的取值范围．
（4）若函数 y＝x22﹣ax+a2+a3﹣ 的悬垂等腰直角△ABC 的面积范围为 2≤S△ABC
≤9
2
，且点 C在第一象限，
直接写出 a的取值范围．
【点拨】（1）设 C（m，
1
2
m+3），根据“悬垂等腰直角三角形”的定义可知∠CAB＝45°，求出直线
CA 的解析式，C点即函数的图象与直线 CA 的交点，列方程求解即可；
（2）先根据“悬垂等腰直角三角形”定义及悬垂等腰直角三角形面积是 2，求得点 C的坐标，再根据
反比例函数概念求 k的值；
（3）设点 C（m，m1﹣ ），根据“悬垂等腰直角三角形”定义可列方程 m25﹣m+7＝m1﹣ ，求解后再根
据“该函数的悬垂点只有一个，”即可求得结论；
（4）根据“点 C在第一象限，2≤S△ABC
≤9
2
”，可得 2≤AB≤3，进而得到：3≤m≤4，再由“悬垂等腰直角
三角形”定义可得：m22﹣am+a2+a3﹣ ＝m1﹣ ，解得：a1＝m2﹣ 或 a2＝m+1，即可得到结论．
【解析】解：以点 B为直角顶点作等腰直角△ABC，点 A（1，0），
∴直线 CA 的解析式为：y＝x1﹣ 或 y＝﹣x+1，
（1）当直线 CA 的解析式为 y＝x1﹣ 时，
{
y=1
2x+3
y=x −1
，
解得：
；
即C点为（8，7），
1
当直线 CA 的解析式为 y＝﹣x+1 时，
{
y=1
2x+3
y=− x+1
，
解得：
{
x=−4
3
y=7
3
；
即C点为（
−4
3
，
7
3
），
故答案为：8或
−4
3
；
（2）设点 C的横坐标为 m，则点 C的纵坐标为 m1﹣ ，
∵S△ABC
¿1
2
（m1﹣ ）2＝2，
∴m1＝﹣1，m2＝3，
∴点 C的坐标为（﹣1，﹣2）或（3，2），
∵点 C在反比例函数 y
¿k
x
（k＞0）的图象上，
∴k＝2或k＝6；
（3）设点 C（m，m1﹣ ），
∵点 C在函数 y＝x25﹣x+7 的图象上，
∴m25﹣m+7＝m1﹣ ，
解得：m1＝2，m2＝4
∵当 1≤x≤n（n＞1）时，该函数的悬垂点只有一个，∴2≤n＜4．
（4）∵点 C在第一象限，2≤S△ABC
≤9
2
，
∴2≤AB≤3，
∵点 A（1，0），
∴3≤m≤4
∵m22﹣am+a2+a3﹣ ＝m1﹣ ，
∴a1＝m2﹣ 或 a2＝m+1
当a＝m2﹣ 时，可得 1≤a≤2，
当a＝m+1 时，可得 4≤a≤5，
2
综上所述，a的取值范围为：1≤a≤2 或4≤a≤5．
【典例 2】（2019•大庆三模）如图，在平面直角坐标系中，抛抛物线 C1：y＝ax2+bx 1﹣ 经过点 A（﹣
2，1）和点 B（﹣1，﹣1），抛抛物线 C2：y＝2x2+x+1，点 M为C2上一点，MN∥y轴交 C1于点 N．
（1）求抛物线 C1的解析式；
（2）①求 MN 的最小值；
②当△AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，求 M的坐标；
（3）请直接写出当△ABN 为锐角三角形时，点 N横坐标 x的取值范围．
【点拨】（1）待定系数法求抛物线解析式，直接将点 A，B坐标代入求解即可；
（2）①设 M（t，2t2+t+1），可得 N（t，t2+t1﹣ ），得 MN＝t2+2，即可得当 t＝0时，MN 有最小值为
2；②△AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形，可分两种情形：∠ANM＝90°，AN＝NM 或∠AMN
＝90°，AM＝MN，建立方程求解即可；
（3）先求直线 AB 解析式，根据两直线垂直，一次项系数之积等于﹣1，易求得经过点 A（﹣2，1）的
直线 AN1解析式和经过点 B（﹣1，﹣1）且垂直 AB 的直线 BN2解析式，通过联立方程组求解即可得
N1（
3
2
，
11
4
）和 N2（
1
2
，
−1
4
），由△ABN 为锐角三角形，即可得 N横坐标 x的取值范围．
【解析】解：（1）∵抛物线 C1：y＝ax2+bx 1﹣ 经过点 A（﹣2，1）和点 B（﹣1，﹣1），
∴
{
4a− 2b −1=1
a −b − 1=−1
，解得
{
a=1
b=1
，
∴抛物线 C1的解析式为 y＝x2+x1﹣ ；
（2）①设 M（t，2t2+t+1），则 N（t，t2+t1﹣ ），
∴MN＝t2+2，
∵1＞0，
∴当 t＝0时，MN 有最小值为 2；
3
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