《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题09 二次函数与角度（原卷版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 09 二次函数与角度
【典例 1】（2019•新抚区三模）如图，直线 y
¿1
2
x2﹣与x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，抛物线 y＝ax2
−3
2
x+c经过 A，B两点，与 x轴的另一交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线 AM 与x轴交于点 N，当
MN
AN
=3
2
时，求点 M的坐标；
（3）P为抛物线上的动点，连接 AP，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点 P的坐标．
【典例 2】（2019•开远市二模）如图①，四边形 OABC 是矩形，点 A的坐标为（3，0），点 C的坐标为
（0，6），点 P从点 O出发，沿线段 OA 以每秒 1个单位长度的速度向点 A移动，同时点 Q从点 A出发，
沿线段 AB 以每秒 2个单位长度的速度向点 B移动，当点 P与点 A重合时移动停止．设点 P移动的时间
为t秒．
（1）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求 t的值；
（2）当 t＝1时，抛物线 y＝x2+bx+c经过 P，Q两点，与 y轴交于点 M，抛物线的顶点为 K，如图②所
示，该抛物线上是否存在点 D，使∠MQD
¿1
2
∠MKQ？若存在，请求出所有满足条件的点 D的坐标；若
不存在，请说明理由．
1
【典例 3】（2019•松滋市三模）如图 1，抛物线
W y：=1
2x2−2
的顶点为点 A，与 x轴的负半轴交于点
D，直线 AB 交抛物线 W于另一点 C，点 B的坐标为（1，0）．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）求 tan∠BDC 的值；
（3）将抛物线 W向下平移 m（m＞0）个单位得到抛物线 W1，如图 2，记抛物线 W1的顶点为 A1，与 x
轴负半轴的交点为 D1，与射线 BC 的交点为 C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若
是，请求出 tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．
【典例 4】（2019•江岸区校级模拟）如图 1，抛物线 C1：y＝x2+（m2﹣）x2﹣m（m＞0）与 x轴交于点
A、B（A在B的左侧），与 y轴交于点 C，连接 AC、BC，S△ABC＝3．
（1）求 m的值；
2
（2）如图 2，将射线 BC 绕点 B顺时针方向旋转交抛物线 C1第二象限的图象于点 D，连接 DC．当 x轴
恰好三等分△DBC 的面积时，求此时点 D的横坐标；
（3）将抛物线 C1向右平移，使新抛物线 C2经过原点，如图 3，C2的对称轴 l交抛物线 C2于E，交直线
y＝4于F，直线 y＝4交C2于点 G、H（G在H的左侧），点 M、N分别从点 G、H同时出发，以 1个单
位长度/秒向点 F运动．设点 M运动时间为 t（秒），点 M、N到达 F时，运动停止，点 W在l上，WF
¿5
4
，连 MW、NE．当∠MWF＝3∠FEN 时，求 t的值．
【典例 5】（2019•丹东二模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0）、C（3，0），点 B为
抛物线顶点，直线 BD 为抛物线的对称轴，点 D在x轴上，连接 AB、BC．
（1）如图 1，若∠ABC＝60°，则点 B的坐标为　 　；
（2）如图 2，若∠ABC＝90°，AB 与y轴交于点 E，连接 CE．
①求这条抛物线的解析式；
②点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC 的面积为 S，点 P的横坐标为 m，求 S关于 m的函数关
系武，并求出 S的最大值；
③如图 3，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于∠OBD，若存在请直
接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由．
3
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