《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题09 二次函数与角度（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 09 二次函数与角度
【典例 1】（2019•新抚区三模）如图，直线 y
¿1
2
x2﹣与x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，抛物线 y＝ax2
−3
2
x+c经过 A，B两点，与 x轴的另一交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线 AM 与x轴交于点 N，当
MN
AN =3
2
时，求点 M的坐标；
（3）P为抛物线上的动点，连接 AP，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点 P的坐标．
【点拨】（1）直线 y
¿1
2
x2﹣与x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，则点 A、B的坐标分别为：（0，﹣
2）、（4，0），即可求解；
（2）直线 MA 的表达式为：y＝（
1
2
m
−3
2
）x2﹣，则点 N（
4
m−3
，0），当
MN
AN =3
2
时，则
，
即：
¿m− 4
m−3∨¿
¿4
m−3∨¿=3
2¿
¿
，即可求解；
（3）分∠PAB＝∠AOB＝90°、∠PAB＝OAB、∠PAB＝OBA 三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）直线 y
¿1
2
x2﹣与x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，则点 A、B的坐标分别为：（0，
﹣2）、（4，0），
1
则c＝﹣2，将点 B的坐标代入抛物线表达式并解得：a
¿1
2
，
故抛物线的表达式为：y
¿1
2
x2
−3
2
x2…﹣①；
（2）设点 M（m，
1
2
m2
−3
2
m2﹣）、点 A（0，﹣2），
将点 M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线 MA 的表达式为：y＝（
1
2
m
−3
2
）x2﹣，
则点 N（
4
m−3
，0），
当
MN
AN =3
2
时，则
NH
ON =3
2
，即：
¿m− 4
m−3∨¿
¿4
m−3∨¿=3
2¿
¿
，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点 M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；
（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，
则直线 AP 的表达式为：y＝﹣2x2…﹣②，
联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去 0），
故点 P（﹣1，0）；
2
②当∠PAB＝OAB 时，
当点 P在AB 上方时，无解；
当点 P在AB 下方时，
将△OAB 沿AB 折叠得到△O′AB，直线 OA 交x轴于点 H、交抛物线为点 P，点 P为所求，
则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设 OH＝x，
则sin∠H
¿BO '
HB =OA
HA
，即：
4
4+x=2
√
x2+4
，解得：x
¿8
3
，则点 H（
−8
3
，0），
则直线 AH 的表达式为：y
¿−3
4
x2…﹣③，
联立①③并解得：x
¿3
2
，故点 P（
3
2
，
−25
8
）；
③当∠PAB＝OBA 时，
当点 P在AB 上方时，
则AH＝BH，
3
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