《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题08 二次函数与面积（原卷版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优

专题 08 二次函数与面积

【典例 1】（2019•海州区二模）如图，一次函数 y＝x+3 与坐标轴交于 A、C两点，过 A、C两点的抛物线

y＝ax22﹣x+c与x轴交于另一点 B抛物线顶点为 E，连接 AE．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点 E坐标；

（2）点 P是线段 AE 上的一动点，过点 P作PF 平行于 y轴交 AC 于点 F，连接 EF，求△PEF 面积的最

大值及此时点 P的坐标；

（3）若点 M为坐标轴上一点，点 N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使 A、E、M、N为顶点的

四边形是以 AE 为对角线的矩形？如果存在，请直接写出 N点坐标；若不存在，请说明理由．

【典例 2】（2019•望花区四模）如图 1，抛物线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴交于 A（1，0）、B两点，与 y轴交于

点C，抛物线的对称轴为直线 x＝2，交抛物线于点 D，交 x轴于点 E．

（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点 B、点 D的坐标；

（2）抛物线对称轴上的一动点 P从点 D出发，以每秒 1个单位的速度向上运动，连接 OP，BP，设运

动时间为 t秒（t＞0）．在点 P的运动过程中，请求出：当 t为何值时，∠OPB＝90°？

（3）如图 2，点 Q在抛物线上运动（点 Q不与点 A、B重合），当△QBC 的面积与△ABC 的面积相等

时，请求出点 Q的坐标．

【典例 3】（2019•振兴区校级二模）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴交于 A、B两点，交 y轴正半轴于

C点，D为抛物线的顶点，A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求出二次函数的表达式．

（2）点 P在x轴上，且∠PCB＝∠CBD，求点 P的坐标．

（3）在 x轴上方抛物线上是否存在一点 Q，使得以 Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相

等的两部分？如果存在，请直接写出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【典例 4】（2019•邯郸三模）如图（1），在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x+4 与y轴交于点 A，与 x

轴交于点 B，抛物线 C1：y

¿−1

x2+bx+c过A，B两点，与 x轴的另一交点为点 C．

（1）求抛物线 C1的解析式及点 C的坐标；

（2）如图（2），作抛物线 C2，使得抛物线 C2与C1恰好关于原点对称，C2与C1在第一象限内交于点

D，连接 AD，CD，

①请直接写出抛物线 C2的解析式和点 D的坐标

②求四边形 AOCD 的面积；

（3）已知抛物线 C2的顶点为 M，设 P为抛物线 C1对称轴上一点，Q为直线 y＝2x+4 上一点，是否存在

以点 M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明

理由．

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