《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题07 二次函数与线段、周长的最值（原卷版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优

专题 07 二次函数与线段、周长的最值

【典例 1】（2019•永州）如图 1，抛物线的顶点 A的坐标为（1，4），抛物线与 x轴相交于 B、C两点，与

y轴交于点 E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出

点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图 2，连接 AB，若点 P是线段 OE 上的一动点，过点 P作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛

物线相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧），当 MN 最大时，求△PON 的面积．

【典例 2 】（2019• 福田区期末）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0 ），经过点 A（ ﹣

1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 M的坐标；

（2）连接 AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当 S△NBC＝S△ABC 时，求 N点的坐标；

（3）在（2）问的条件下，过点 C作直线 l∥x轴，动点 P（m，﹣3）在直线 l上，动点 Q（m，0）在 x

轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m为何值时，PM+PQ+QN 的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．

【典例 3】（2019•霍林郭勒市期末）如图 1，抛物线 y＝﹣x2+mx+n交x轴于点 A（﹣2，0）和点 B，交 y

轴于点 C（0，2）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 M在抛物线上，且 S△AOM＝2S△BOC，求点 M的坐标；

（3）如图 2，设点 N是线段 AC 上的一动点，作 DN⊥x轴，交抛物线于点 D，求线段 DN 长度的最大值．

【典例 4】（2019•孝义市期末）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x4﹣分别与 x轴，y轴交于点 A和点 C，抛物线 y＝ax23﹣x+c经

过A，C两点，并且与 x轴交于另一点 B．点 D为第四象限抛物线上一动点（不与点 A，C重合），过点

D作DF⊥x轴，垂足为 F，交直线 AC 于点 E，连接 BE．设点 D的横坐标为 m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当∠ECD＝∠EDC 时，求出此时 m的值；

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