《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题07 二次函数与线段、周长的最值（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 07 二次函数与线段、周长的最值
【典例 1】（2019•永州）如图 1，抛物线的顶点 A的坐标为（1，4），抛物线与 x轴相交于 B、C两点，与
y轴交于点 E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点 F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出
点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图 2，连接 AB，若点 P是线段 OE 上的一动点，过点 P作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛
物线相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧），当 MN 最大时，求△PON 的面积．
【点拨】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作 E关于对称轴的对称点 E'，连接 E'F交对称轴于 G，此时 EG+FG
的值最小，先求 E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点 G；
（3）如图 2，先利用待定系数法求 AB 的解析式为：y＝﹣2x+6，设 N（m，﹣m2+2m+3），则 Q（m，
﹣2m+6），（0≤m≤3），表示 NQ＝﹣m2+4m3﹣，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得 MN 的表达式，
根据配方法可得当 m＝2时，MN 有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得 PG 的长，从而得 OP 的长，
根据三角形的面积公式可得结论，并将 m＝2代入计算即可．
【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x1﹣）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0 1﹣）2+4，
1
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x1﹣）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图 1，作 E关于对称轴的对称点 E'，连接 E'F交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得 E'F的解析式为：y＝3x3﹣，
当x＝1时，y＝3×1 3﹣＝0，
∴G（1，0）
（3）如图 2，∵A（1，4），B（3，0），
易得 AB 的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于 H，交 AB 于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则 Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m3﹣，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴
QN
MN =AB
BD
，
∴
−m2+4m−3
MN =2
√
5
2
，
2
∴MN
¿−
√
5
5
（m2﹣）2
+
√
5
5
，
∵
−
√
5
5
＜
0，
∴当 m＝2时，MN 有最大值；
过N作NG⊥y轴于 G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴
PG
NG =BD
AD =2
4=1
2
，
∴PG
¿1
2
NG
m，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3
−1
2
m＝﹣m2
+3
2
m+3，
∴S△PON
¿1
2
OP•GN
¿1
2
（﹣m2
+3
2
m+3）•m，
当m＝2时，S△PON
¿1
2×
2（﹣4+3+3）＝2．
（方法 2：根据 m的值计算 N的坐标为（2，3），与 E是对称点，连接 EN，同理得：EP
¿1
2
EN＝1，则
OP＝2，根据面积公式可得结论）．
3
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