《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题05 二次函数的图象与性质（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 05 二次函数的图象与性质
【典例 1】（2019•浦东新区一模）如果二次函数 y＝ax2+bx+c的图象全部在 x轴的下方，那么下列判断中
正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
【点拨】由抛物线在 x轴的下方，即可得出抛物线与 x轴无交点且 a＜0，进而即可得出 a＜0、c＜0，此
题得解．
【解析】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c的图象全部在 x轴的下方，
∴a＜0，
4ac −b2
4a＜
0，
∴a＜0，c＜0，
故选：D．
【典例 2】（2019•和平区校级月考）抛物线 y＝2x23﹣x+5 的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】由抛物线解析式求得顶点坐标即可求得答案．
【解析】解：
∵y＝2x23﹣x+5＝2（x
−3
4
）2
+31
8
，
∴抛物线顶点坐标为（
3
4
，
31
8
），
∴抛物线顶点坐标在第一象限，
故选：A．
【典例 3】（2019•锦州一模）若关于 x的一元二次方程 2x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则二次函数 y＝2x2﹣x
1
﹣n的图象的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】首先根据一元二次方程 2x2﹣x﹣n＝0没有实数根求出 n的取值范围，然后把二次函数进行配方，
求出顶点坐标，结合 n的取值范围即可判断顶点坐标所在象限．
【解析】解：∵一元二次方程 2x2﹣x﹣n＝0没有实数根，
∴△＝1+8n＜0，
∴n
＜−1
8
，
∵y＝2x2﹣x﹣n＝2（x2
−1
2
x
）
−1
8−
n＝2（x
−1
4
）2
−1
8−
n，
∴二次函数的顶点坐标为（
1
4
，
−1
8−
n），
∵n
＜−1
8
，
∴
−1
8−
n＞0，
∴二次函数的顶点坐标为（
1
4
，
−1
8−
n）位于第一象限．
故选：A．
【典例 5】（2019•郫都区模拟）在同一坐标系中，一次函数 y＝ax+b与二次函数 y＝ax2+b的大致图象为（
）
A．B．
2
C．D．
【点拨】可先根据一次函数的图象判断 a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解析】解：A、由一次函数 y＝ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数 y＝ax2+b的图象应该开口向上，
故A错误；
B、由一次函数 y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数 y＝ax2+b的图象应该开口向下，顶点
的纵坐标大于零，故 B正确；
C、由一次函数 y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数 y＝ax2+b的图象应该开口向下，故 C
错误；
D、由一次函数 y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数 y＝ax2+b的图象应该开口向下，故 D
错误；
故选：B．
【典例 5】（2019•大同二模）将抛物线 y＝x2﹣x+1 先向左平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，
则所得抛物线的表达式为（　　）
A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3xC．y＝x25﹣x+10 D．y＝x25﹣x+4
【点拨】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可；
【解析】解：y＝x2﹣x+1＝（x
−1
2
）2
+3
4
，
当向左平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得
y＝（x
−1
2+¿
2）2
+3
4+¿
3＝（x
+3
2
）2
+15
4=¿
x2+3x+6；
故选：A．
3
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