《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题04 三角函数与相似（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 04 三角函数与相似
【典例 1】（2019•南岸区校级月考）如图，点 A是双曲线 y
¿k
x
上一点，过 A作AB∥x轴，交直线 y＝﹣x于
点B，点 D是x轴上一点，连接 BD 交双曲线于点 C，连接 AD，若 BC：CD＝3：2，△ABD 的面积为
11
4
，tan∠ABD
¿9
5
，则 k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．
−3
4
D．
3
4
【点拨】如图作 BH⊥OD 于H．延长 BA 交y轴于 E．由 tan∠ABD＝tan∠BDH
¿9
5
，设 DH＝5m，BH＝
9m，则 BH＝BE＝9m，OD＝4m，推出 C（﹣6m，
18
5
m），推出 A（
m，9m），由△ABD 的面积
为
11
4
，推出
1
2×33
5
m×9m
¿11
4
，可得 m2
¿5
54
，推出 k＝﹣6m
×18
5
m＝﹣2；
【解析】解：如图作 BH⊥OD 于H．延长 BA 交y轴于 E．
1
∵AB∥DH，
∴∠ABD＝∠BDH，
∴tan∠ABD＝tan∠BDH
¿9
5
，设 DH＝5m，BH＝9m，则 BH＝BE＝9m，OD＝4m，
∴C（﹣6m，
18
5
m），
∴A（
−12
5
m，9m），
∵△ABD 的面积为
11
4
，
∴
1
2×33
5
m×9m
¿11
4
，
∴m2
¿5
54
，
∴k＝﹣6m
×18
5
m＝﹣2，
故选：A．
【典例 2】（2019•潍坊期末）如图，反比例函数 y
¿2
x
的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一
支于点 B，在第二象限内有一点 C，满足 AC＝BC，当点 A运动时，点 C始终在函数 y
¿k
x
的图象上运动，
tan∠CAB＝2，则 k＝　﹣ 8 　 ．
2
【点拨】连接 OC，过点 A作AE⊥x轴于点 E，过点 C作CF⊥y轴于点 F，通过角的计算找出∠AOE＝
∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，
再由 tan∠CAB＝2，可得出 CF•OF 的值，进而得到 k的值．
【解析】解：如图，连接 OC，过点 A作AE⊥x轴于点 E，过点 C作CF⊥y轴于点 F，
∵由直线 AB 与反比例函数 y
¿2
x
的对称性可知 A、B点关于 O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴
AE
CF =OE
OF =AO
CO
，
∵tan∠CAB
¿OC
OA =¿
2，
∴CF＝2AE，OF＝2OE．
又∵AE•OE＝2，CF•OF＝|k|，
∴k＝±8．
∵点 C在第二象限，
∴k＝﹣8，
故答案为﹣8．
3
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