《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题02 解直角三角形的应用（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 02 解直角三角形的应用
题型一 “共边”型
【典例 1】（2019•沙坪坝区校级月考）位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造
森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登
临塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你
有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的
三角函数知识估测该塔的高度，已知揽星塔 AB 位于坡度 l
¿
√
3
：1的斜坡 BC 上，测量员从斜坡底端 C
处往前沿水平方向走了 120m达到地面 D处，此时测得揽星塔 AB 顶端 A的仰角为 37°，揽星塔底端 B的
仰角为 30°，已知 A、B、C、D在同一平面内，则该塔 AB 的高度为（　　）米，（结果保留整数，参
考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
√
3≈
1.73）
A．31 B．40 C．60 D．136
【点拨】如图，设 AB⊥DC 于E，设 BE
¿
√
3
x，CE＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：如图，设 AB⊥DC 于E，
设BE
¿
√
3
x，CE＝x，
在Rt△BDE 中，∵∠BDE＝30°，
∴DE
¿BE
tan 30 °=
√
3x
√
3
3
=¿
3x，
∴DC＝DE﹣CE＝3x﹣x＝120，
1
∴x＝60，
∴BE＝60
√
3
，DE＝180，
在Rt△ADE 中，AE＝DE•tan37°＝180×0.75＝135，
∴AB＝AE﹣BE＝135 60﹣
√
3≈
31 米，
答：该塔 AB 的高度为 31 米，
故选：A．
【典例 2】（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已
知此时救助船 B在A的正北方向，事故渔船 P在救助船 A的北偏西 30°方向上，在救助船 B的西南方向
上，且事故渔船 P与救助船 A相距 120 海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离；
（2）若救助船 A，B分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 P处
搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【点拨】（1） 作 PC⊥AB 于C，则∠PCA ＝ ∠ PCB ＝90° ，由题意得：PA ＝120 海里，∠A＝
2
30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出 PC
¿1
2
PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，得出 PB
PC＝60
√
2
海里即可；
（2）求出救助船 A、B所用的时间，即可得出结论．
【解析】解：（1）作 PC⊥AB 于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120 海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，
∴PC
¿1
2
PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝60 海里，PB
¿
√
2
PC＝60
√
2
海里；
答：收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为 60
√
2
海里；
（2）∵PA＝120 海里，PB＝60
√
2
海里，救助船 A，B分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出
发，
∴救助船 A所用的时间为
120
40
=¿
3（小时），救助船 B所用的时间为
60
√
2
30
=¿
2
√
2
（小时），
∵3＞2
√
2
，
∴救助船 B先到达．
3
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