《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题01 求直角三角形锐角三角函数的方法（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 01 求直角三角形锐角三角函数的方法
题型一 直接运用定义求锐角三角函数值
【典例 1】（2019•金堂校级期末）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，且 AC＝1，BC＝2，则 sin∠A＝　
2
√
5
5
．
【点拨】根据勾股定理先得出 AB，再根据正弦的定义得出答案即可．
【解析】解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝1，BC＝2，
∴AB
¿
√
5
；
∴sin∠A
¿BC
AB =2
√
5=2
√
5
5
，
故答案为
2
√
5
5
．
【典例 2】（2019•镇海区一模）如图，直线 y
¿3
4x+3
与x、y轴分别交于 A、B两点，则 cos∠BAO 的值是
（　　）
1
A．
4
5
B．
3
5
C．
D．
5
4
【点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B的坐标，得到 OA、OB 的长，根据勾股定理求
出AB，根据余弦的定义解答即可．
【解析】解：当 x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴直线 y
¿3
4x+3
与x、y轴的交点 A的坐标（﹣4，0）、B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
则cos∠BAO
¿OA
AB =4
5
，
故选：A．
【典例 3】（2019• 咸宁模拟）如图，P（12 ，a）在反比例函数
y=60
x
图象上，PH⊥x轴 于 H， 则
tan∠POH 的值为　
5
12
　．
2
【点拨】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH 为∠POH 的对边比邻边，求出即可．
【解析】解：∵P（12，a）在反比例函数
y=60
x
图象上，
∴a
¿60
12 =¿
5，
∵PH⊥x轴于 H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH
¿5
12
，
故答案为：
5
12
．
【典例 4】（2019•成都月考）如图，在正方形 ABCD 中，M是AD 的中点，BE＝3AE，试求 sin∠ECM 的
值．
【点拨】依题意设 AE＝x，则 BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM 是直角三角形，再
利用三角函数的定义求解．
【解析】解：设 AE＝x，则 BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC
¿
√
¿¿
5x，
EM
¿
√
x2+¿¿
x，
CM
¿
√
¿¿
x，
3
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