《九年级数学上学期期中考试高分直通车》专题3.6大题能力提升考前必做30题（解析版）【苏科版】

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2020-2021 学年九年级数学上学期期中考试高分直通车【苏科版】
专题 3.6 大题能力提升考前必做 30 题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共 30 小题）
1．（2019 秋•江苏省金坛区期中）（1）2（x1﹣）2＝18；
（2）
1
2
x22﹣x3﹣＝0；
（3）（x+1）（2x5﹣）＝x+1：
（4）2x2﹣x6﹣＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）利用因式分解法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）∵2（x1﹣）2＝18，
∴（x1﹣）2＝9，
∴x1﹣＝3或x1﹣＝﹣3，
解得 x＝4或x＝﹣2；
（2）整理为一般式，得：x24﹣x6﹣＝0，
x24﹣x＝6，
则x24﹣x+4＝6+4，即（x2﹣）2＝10，
∴x2﹣＝±
√
10
，
∴x＝2±
√
10
；
（3）∵（x+1）（2x5﹣）﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（2x6﹣）＝0，
则x+1＝0或2x6﹣＝0，
解得 x＝﹣1或x＝3；
（4）∵2x2﹣x6﹣＝0，
∴（x2﹣）（2x+3）＝0，
则x2﹣＝0或2x+3＝0，
解得 x＝2或x
¿−3
2
．
1
2．（2019 秋•江苏省海州区校级期中）已知关于 x的方程 k2x22﹣（k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求 k的取值范围；
（2）若 k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k2≠0 且△＝4（k+1）24﹣k2≥0，然后
解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）直接得出 k的值，进而解方程得出答案．
【解析】（1）根据题意得 k2≠0 且△＝4（k+1）24﹣k2＝8k+4≥0，
解得：k
≥ − 1
2
且k≠0；
（2）∵k
≥ − 1
2
且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k＝1，
故x24﹣x+1＝0，
则x24﹣x+4＝﹣1+4，
故（x2﹣）2＝3，
则x2﹣＝±
√
3
，
解得：x1＝2
，x2＝2
−
√
3
．
3．（2019 秋•江苏省建湖县期中）关于 x的一元二次方程 2x2﹣mx+n＝0．
（1）当 m﹣n＝3时，请判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，当 n＝8时，求此时方程的根．
【分析】（1）由 m﹣n＝3可得出 n＝m3﹣，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝（ m﹣
4）2+8，结合（m4﹣）2≥0 可得出△＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根的判别式△＝0，即可得出 m2＝8n，结合 n＝8可得出 m的值，再解一元二次方程即可得出
结论．
【解析】（1）∵m﹣n＝3，
∴n＝m3﹣，
∴△＝（﹣m）24×2﹣n＝m28﹣n＝m28﹣m+24＝（m4﹣）2+8．
∵（m4﹣）2≥0，
∴（m4﹣）2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
2
∴△＝（﹣m）24×2﹣n＝0，
∴m2＝8n．
∵n＝8，
∴m＝±8．
当m＝8时，原方程为 2x28﹣x+8＝0，
解得：x1＝x2＝2；
当m＝﹣8时，原方程为 2x2+8x+8＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2．
4．（2019 秋•江苏省吴中区期中）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以点 B为圆心，BC 的长为半径画弧，
交线段 AB 于点 D，以点 A为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，设 BC＝a，AC＝b．
（1）请你判断：线段 AD 的长度是方程 x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由；
（2）若线段 AD＝EC，求
a
b
的值．
【分析】（1）方程变形即可得到 x2+2ax+a2＝a2+b2，根据勾股定理得到（x+a）2＝AB2，由 BD＝BC＝
a，即可得到结论；
（2）由题意得，AD
¿1
2
b，根据勾股定理列出（a
+1
2
b）2＝a2+b2，整理得到 a
¿3
4
b，即可求得
a
b=3
4
．
【解析】（1）∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵BC＝a，AC＝b．
∴AB2＝a2+b2，
方程 x2+2ax﹣b2＝0变形为：x2+2ax+a2＝a2+b2，
∴（x+a）2＝AB2，
∵BD＝BC＝a，
∴（x+BD）2＝AB2，
∴线段 AD 的长度是方程 x2+2ax﹣b2＝0的一个根；
（2）∵AD＝EC，
3
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