《九年级数学上学期期中考试高分直通车》专题1.4圆的有关位置关系（解析版）【苏科版】

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2020-2021
学年九年级上学期期中考试高分直通车【苏科版】
专题 1.4 圆的有关位置关系
【知识梳理】
1、点和圆的位置关系
设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：
d<r
⇔
点
P
在⊙ O
内 ；
d=r
⇔
点
P
在⊙ O
上 ；
d>r
⇔
点
P
在⊙ O
外 .
2、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下： [来源:Zxxk.Com]
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
1
如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：
直线 l 与⊙O 相交 ＜====＞ d<r；
直线 l 与⊙O 相切 ＜====＞ d=r；
直线 l 与⊙O 相离 ＜====＞ d>r；
3．切线的判定和性质 ：
（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如右图中，OD 垂直于切线.
4．切线长定理 ：
（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角.
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补.
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.如图圆 O 是△A＇B＇C＇的内切
圆.三角形的内 切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.
【典例剖析】
【考点 1】点与圆的位置关系
2
【例 1】（2018 秋•大丰区期中）如图，矩形 ABCD 中AB＝3，AD＝4．作 DE⊥AC 于点 E，作 AF⊥BD 于
点F．
（1）求 AF、AE 的长；
（2）若以点 A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有 1个点在圆内，且至少有 2个点在圆外，求
⊙A的半径 r的取值范围．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出 AC 和BD，再利用面积法计算出 AF、DE，然后根据勾股定理计
算出 AE；
（2）利用 B、C、D、E、F到点 A的距离可判断⊙A的半径 r的取值范围．
【解析】（1）∵矩形 ABCD 中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD
¿
√
32+42=¿
5，
∵
1
2
AF•BD
¿1
2
AB•AD，
∴AF
，
同理可得 DE
¿12
5
，
在Rt△ADE 中，AE
¿
√
42−¿¿
；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点 A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有 1个点在圆内，且至少有 2个点在圆外，即点 F
在圆内，点 D、C在圆外，
∴⊙A的半径 r的取值范围为 2.4＜r＜4．
【变式 1.1】（2019 秋•泰兴市校级期末）若点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则 a的
取值范围为（　　）
3
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