《九年级数学上学期期中考试高分直通车》专题1.2一元二次方程的应用（解析版）【苏科版】

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2020-2021

学年九年级上学期期中考试高分直通车【苏科版】

专题 1.2 一元二次方程的应用（共 35 题）

【知识梳理】

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检

验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a．

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次

增长后为 a（1+x）；第二次增长后为 a（1+x）²，即原数×（1+增长百分率）²=后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角

形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

（5）销售问题：

利润=售价—进价=进价×利润率，总利润=销售量×单件利润

3．列一元二次方程解应用题的“六字诀”

（1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

（2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

（3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

（4）解：准确求出方程的解．

（5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

（6）答：写出答案．

【典例剖析】

【考点 1】增长率问题

【例 1】（2019 秋•大丰区期中）某种药品原价每盒 60 元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在

售价每盒 48.6 元，求平均每次下调的百分率．

【分析】根据增长（下调）率关系式列一元二次方程即可求解．

【解析】设平均每次下调的百分率为 x，根据题意，得

60（1﹣x）2＝48.6

1﹣x＝±0.9

解得 x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）

答：平均每次下调的百分率为 10%．

【变式 1.1】（2018 秋•常熟市期中）一种药品经过两次降价，药价从每盒 60 元下调至 48.6 元，则平均每

次降价的百分率是（　　）

A．8% B．9% C．10% D．11%

【分析】设平均每次降价的百分率为 x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于 x的

一元二次方程，解之取其大于 0且小于 1的值即可得出结论．

【解析】设平均每次降价的百分率为 x，

根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式 1.2】（2018 秋•丹阳市期中）某市 2015 年旅游收入为 2亿元．2017 年旅游收入达到 2.88 亿元，则

该市 2016 年、2017 年旅游收入的年平均增长率为（　　）

A．2% B．4.4% C．20% D．44%

【分析】设该市 2016 年、2017 年旅游收入的年平均增长率为 x，根据该市 2015 年及 2017 年的旅游收入，

即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设该市 2016 年、2017 年旅游收入的年平均增长率为 x，

根据题意得：2（1+x）2＝2.88，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式 1.3】（2018 秋•泰兴市校级期中）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生

了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件

数分别为10 万件和 14.4 万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递快递 0.7 万件，那么该公司现有的22 名快递投递业务员能否完成今

年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年1月份与3月份完成投递的快

递总件数分别为10 万件和 14.4 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，

解方程即可；

（2）首先求出今年4月份的快递投递任务，再求出 22 名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较

得出该公司不能完成今年4月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．

【解析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，

根据题意得：10（1+x）2＝14.4，

解得 x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），

∴x＝0.2＝20%．

答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 20%；

（2）今年4月份的快递投递任务是14.4×（1+20%）＝17.28（万件）．

∵平均每人每月最多可投递0.7 万件，

∴22 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.7×22＝15.4＜17.28，

∴该公司现有的22 名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，

∴需要增加业务员（17.28 15.4﹣）÷0.7≈2.7≈3（人）．

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