《九年级数学上学期期中考试高分直通车》专题1.1一元二次方程（解析版）【苏科版】

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2020-2021
学年九年级上学期期中考试高分直通车【苏科版】
专题 1.1 一元二次方程精讲精练（共 36 题）
【知识梳理】
1．一元二次方程的有关概念：
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高
次数是 2”；“二次项的系数不等于 0”；“整式方程”．
（2）一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于 x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫
一元二次方程的一般形式．
（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只
含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：形如
x2=p
或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元
1
二次方程．
（2）配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为 （a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
（3）公式法：把
x=−b ±
√
b2−4ac
2a
（
b2
-4ac≥0）叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定 a，b，c的值（注意符号）；
②求出
b2
-4ac 的值（若
b2
-4ac＜0，方程无实数根）；
③在
-4ac≥0 的前提下，把 a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：① a≠0；②
b2
-4ac≥0．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二
次方程最常用的方法．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得
到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3.一元二次方程根的判别式：
利用一元二次方程根的判别式（△=
b2
-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程 a
x2
+bx+c=0（a≠0）的根与△=
b2
-4ac 有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4.一元二次方程根与系数的关系：
（1）若二次项系数为 1，常用以下关系：
x1
，
x2
是方程
x2
+px+q=0 的两根时，
x1
+
x2
=-p，
x1
x2
=q
反过来可得 p=-（
x1
+
x2
），q=
x1
x2
，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未
知系数．
（2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2 是一元二次方程 a
x2
+bx+c=0（a≠0）的两根时，
反过来也成立，
x1
+
x2
=—
b
a
，
x1
x2
=
c
a
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知
2
数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22 等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给
出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要
考虑 a≠0，△≥0这两个前提条件．
【典例剖析】
【考点 1】一元二次方程的定义
【例 1】（2019 秋江苏省南通期中）下列方程中，是关于 x的一元二次方程的为（　　）
A．x+y＝3 B．3x+y2＝2 C．2x﹣x2＝3 D．x（x22﹣）＝0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方
程的定义判断即可．
【解析】A、是二元一次方程，故本选项不合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元三次方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【变式 1.1】（2019 秋江苏省吴中区期中）下列方程中，是关于 x的一元二次方程的是（　　）
A．x22﹣x＝x2+1 B．x2
+1
x2=¿
1 C．（x1﹣）2＝2 D．2x2+y1﹣＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是 2；
（2）二次项系数不为 0．
【解析】A、由已知方程得到 1+2x＝0，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式 1.2】（2019 秋江苏省泗阳县期中）下列关于 x的方程（m2﹣）x22﹣x+1＝0是一元二次方程，则 m
满足的条件是（　　）
A．m≠0 B．m＝0 C．m≠2 D．m≠ 2﹣
【分析】根据一元二次方程的定义可得 m2≠0﹣，再解即可．
【解析】由题意得：m2≠0﹣，
解得：m≠2．
3
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