《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(原卷版)

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专题 03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

根据图形回答问题：

（1）线段 AB 上任取一点 C，分别以 AC 和BC 为边作等边三角形，试回答△ACE 可看作哪个三角形怎么

样旋转得到．（不用说明理由）

（2）线段 AB 上任取一点 C，分别以 AC 和BC 为边作正方形，连接 DG，M为DG 中点，连接 EM 并延长

交FG 于N，连接 FM，猜测 FM 和EM 的关系，并说明理由．

（3）在（2）的基础上将正方形 CBGF 绕C点旋转，其它条件不变，猜测 FM 和EM 的关系，并说明理由．

【针对训练】

1、如图（1），将正方形 ABCD 与正方形 GECF 的顶点 C重合，当正方形 GECF 的顶点 G在正方形 ABCD

的对角线 AC 上时，的值为　　．

如图（2），将正方形 CEGF 绕点 C顺时针方向旋转 a角（0°＜a＜45°），猜测 AG 与BE 之间的数量关

系，并说明理由．

如图（3），将正方形 CEGF 绕点 C顺时针方向旋转 a角（45°＜a＜90°）使得 B、E、G三点在一条直线

上，此时 tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE 的面积．

2、如图（1），折叠平行四边形 ABCD，使得 B，D分别落在 BC，CD 边上的 B′，D′点，AE，AF 为折痕．

（1）若 AE＝AF，证明：平行四边形 ABCD 是菱形；

（2）若∠BCD＝110°，求∠B'AD'的大小；

（3）如图（2），以 AE，AF 为邻边作平行四边形 AEGF，若 AE＝EC，求∠CGE 的大小．

3、如图，点 E是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 DE，将 DE 绕着点 E逆时针旋转 90°，得到 EG，过

点G作GF⊥CB，垂足为 F，GH⊥AB，垂足为 H，连接 DG，交 AB 于I．

（1）求证：四边形 BFGH 是正方形；

（2）求证：ED 平分∠CEI；

（3）连接 IE，若正方形 ABCD 的边长为 3，则△BEI 的周长为　　．

4、在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 P是对角线 BD 上一动点，将线段 CP 绕点 C顺时针旋转 120°到

CQ，连接 DQ．连接 QP 并延长，分别交 AB、CD 于点 M，N．

（1）如图 1，求证：△BCP≌△DCQ；

（2）如图 2，已知 PM＝QN；若 MN 的最小值为，求菱形 ABCD 的面积．

6、四边形 ABCD 是正方形，PA 是过正方形顶点 A的直线，作 DE⊥PA 于E，将射线 DE 绕点 D逆时针旋

转45°与直线 PA 交于点 F．

（1）如图 1，当∠PAD＝45°时，点 F恰好与点 A重合，则的值为　　；

（2）如图 2，若 45°＜∠PAD＜90°，连接 BF、BD，试求的值，并说明理由．

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