《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

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专题 03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

根据图形回答问题：

（1）线段 AB 上任取一点 C，分别以 AC 和BC 为边作等边三角形，试回答△ACE 可看作哪个三角形怎么

样旋转得到．（不用说明理由）

（2）线段 AB 上任取一点 C，分别以 AC 和BC 为边作正方形，连接 DG，M为DG 中点，连接 EM 并延长

交FG 于N，连接 FM，猜测 FM 和EM 的关系，并说明理由．

（3）在（2）的基础上将正方形 CBGF 绕C点旋转，其它条件不变，猜测 FM 和EM 的关系，并说明理由．

解：（1）将△ACE 以点 C为旋转中心，顺时针方向旋转 60°后得到△DCB，所以可得△ACE 可以由

△DCB 以C点为轴逆时针旋转 60 度得到．

（2）FM ME⊥，FM=ME，连接 GN 和DE，在△DME 和△GMN 中，，

∴△DME GMN≌△ （AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，

∴△NFE 是等腰直角三角形，

FM ME∴ ⊥ ，并且 FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）

（3）延长 EM 至N点，使 EM=MN，连接 NG、EF、FN．（EC 与DM 的交点标为 P，FC 与DM 交点标为

Q）

在△DME 和△GMN 中，，∴

△DME GMN≌△ ．∴DE=NG，∠EDM= NGM∠，

∴EC=NG，∵∠ECF=180°- CPQ- CQP=180°- DPE- FQG=180°-∠ ∠ ∠ ∠ （90°-

MDE∠）-（90°-

FGM∠）= EDM+ FGM∠ ∠ ，∵∠NGM+ FGM= NGF∠ ∠ ，∴∠ECF= NGF∠

，∵EC=DE=NG，

在△ECF 和△NGF 中，，∴△ECF NGF≌△ ，∴EF=NF，∠EFC= NFG∠，

∴∠EMN= EFC+ CFN= NFG+ CFN= CFG=90°∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，∴△EFN 是等腰直角三角形，∴FM EM⊥，并且

FM=EM。

【针对训练】

1、如图（1），将正方形 ABCD 与正方形 GECF 的顶点 C重合，当正方形 GECF 的顶点 G在正方形 ABCD

的对角线 AC 上时，的值为　　．

如图（2），将正方形 CEGF 绕点 C顺时针方向旋转 a角（0°＜a＜45°），猜测 AG 与BE 之间的数量关

系，并说明理由．

如图（3），将正方形 CEGF 绕点 C顺时针方向旋转 a角（45°＜a＜90°）使得 B、E、G三点在一条直线

上，此时 tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE 的面积．

解：（1）如图①中，

∵AC＝BC，CG＝EC，

∴AG＝AC﹣CG＝BC﹣EC＝BE，

∴ ＝，

故答案为：．

（2）结论：＝．

如图②中，所示，连接 CG．

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