《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题02 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

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专题 02 以矩形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

两个长为 2cm，宽为 1cm 的长方形，摆放在直线 l上（如图①），CE=2cm，将长方形 ABCD 绕着点 C顺

时针旋转 α角，将长方形 EFGH 绕着点 E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点 D、H重合时，连接 AE、CG，求证：△AED GCD≌△ （如图②）．

（2）当 α=45°时（如图③），求证：四边形 MHND 为正方形．

证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC= GDE=90°∠，

∴∠ADC+ CDE= GDE+ CDE∠ ∠ ∠ ，即∠ADE= GDC∠，在△AED 与△GCD 中，，∴

△AED GCD≌△ （SAS）；

（2）如图③，∵α=45°，BC EH∥，∴∠NCE= NEC=45°∠，CN=NE，∴∠CNE=90°，

∴∠DNH=90°，∵∠D= H=90°∠，∴四边形 MHND 是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形 MHND 是正

方形．

【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识

解决.

【针对训练】

1、如图，有一矩形纸片 ABCD，AB＝6，AD＝8，如图 1，将纸片折叠使 AB 落在 AD 边上，B的对应点为

B′，折痕为 AE．如图 2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点 F．

（1）求的值；

（2）四边形 EFDB′的面积为　　；

（3）如图 3，将△A′DF 绕点 D旋转得到△MDN，点 N刚好落在 B′E上，A′的对应点为 M，F的对应点

为N，求点 A'到达点 M所经过的距离．

解：（1）∵将纸片折叠使 AB 落在 AD 边上，B的对应点为 B′，

∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，

∴四边形 ABEB'为正方形，

∴△AB'E为等腰直角三角形，

∵AB＝6，AD＝8，

∴B'D＝AD﹣AB'＝8 6﹣＝2，

∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，

∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，

∴A'D＝DF＝6 2﹣＝4，

∵CD＝AB＝6，

∴CF＝6 4﹣＝2，

∴ ．

（2）由（1）可知 B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，

∴四边形 EFDB′的面积＝ ×（B'E+DF）×B'D＝＝10．

故答案为：10．

（3）∵将△A′DF 绕点 D旋转得到△MDN，

∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，

∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，

∴∠B'ND＝30°，

∴∠B'DN＝60°，

∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90° 60°﹣＝30°，

∵△A′DF 在绕点 D旋转过程中，点 A'到达点 M所经过的路径是圆弧 A'M，

∴ 的长为．

即点 A'到达点 M所经过的距离为．

2、已知线段 AB，如果将线段 AB 绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AC，则称点 C为线段 AB 关于点 A的逆转

点．点 C为线段 AB 关于点 A的逆转点的示意图如图 1：

（1）如图 2，在正方形 ABCD 中，点　　为线段 BC 关于点 B的逆转点；

（2）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P的坐标为（x，0），且 x＞0，点 E是y轴上一点，点 F

是线段 EO 关于点 E的逆转点，点 G是线段 EP 关于点 E的逆转点，过逆转点 G，F的直线与 x轴交于点

H．

①补全图；

②判断过逆转点 G，F的直线与 x轴的位置关系并证明；

③若点 E的坐标为（0，5），连接 PF、PG，设△PFG 的面积为 y，直接写出 y与x之间的函数关系式，

并写出自变量 x的取值范围．

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