《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题02 固定边的等腰三角形与二次函数问题(原卷版)

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专题 02 固定边的等腰三角形与二次函数问题
1、如图 1，已知抛物线 y=﹣x2﹣4x+5 交 x 轴于点 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 D 为
抛物线的顶点，连接 AD．
（1）求直线 AD 的解析式．
（2）点 E（m，0）、F（m+1，0）为 x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于 y 轴，交
抛物线于点 E′和 F′，交 AD 于点 M、N，当 ME′+NF′的值最大时，在 y 轴上找一点 R，使得|RE′﹣RF′|
值最大，请求出点 R 的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图 2，在抛物线上是否存在点 P，使得△PAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，若存在，请出点 P 的坐
标及△PAC 的面积，若不存在，请说明理由。
2、已知一次函数 的图象与二次函数 的图象相交于 和 ，点 是线段
上的动点（不与 重合），过点 作 轴，与二次函数 的图象交于点 ．
（1）求 的值；
（2）求线段 长的最大值；
（3）当 为 的等腰直角三角形时，求出此时点 的坐标．
1
3、如图，在平面直角坐标系中．直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=ax2+bx+c 经过
B，C 两点，与 x 轴负半轴交于点 A，连结 AC，A(-1,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形 OCPB 面积 S 关于 m 的函数表达式及 S 的最大
值；
（3）若 M 为抛物线的顶点，点 Q 在直线 BC 上，点 N 在直线 BM 上，Q，M，N 三点构成以 MN 为底边的等腰直
角三角形，求点 N 的坐标．
4、抛物线 y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线 y＝kx+c（k≠0）相交于 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物
线与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出 C、D 两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点 P，若△PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求出点 P 的坐标．
2
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线
C
1：
y
＝
ax
2+
bx
﹣1 经过点
A
(﹣2，1)和点
B
(﹣1，﹣1)，抛物线
C
2：
y
＝2
x
2+
x
+1，动直线
x
＝
t
与抛物线
C
1交于点
N
，与抛物线
C
2交于点
M
．
（1）求抛物线
C
1的表达式；
（2）直接用含
t
的代数式表达线段
MN
的长；
（3）当△
AMN
是以
MN
为直角边的等腰直角三角形时，求
t
的值．
6、如图 1，抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
（
a
、
b
、
c
是常数，
a
≠0）的对称轴为
y
轴，且经过(0,0)和 两
点，点
P
在该抛物线上运动，以点
P
为圆心的⊙
P
总经过定点
A
(0, 2)．
（1）求
a
、
b
、
c
的值；
（2）求证：在点
P
运动的过程中，⊙
P
始终与
x
轴相交；
（3）设⊙
P
与
x
轴相交于
M
(
x
1, 0)、
N
(
x
2, 0)两点，当△
AMN
为等腰三角形时，求圆心
P
的纵坐标．
3
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