《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题02 垂径定理在圆中的应用(解析版)

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专题 02 垂径定理在圆中的应用

圆的定义：

1．在同一平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点 P所经过的封闭曲线叫做圆．

2．圆是到定点距离等于定长的点的集合．

圆的基本性质：

1．圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余

各组量也分别相等．

确定圆的条件：

确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)；②半径(决定圆的大小)．

点和圆的位置关系：

点P在圆内⇔d＜r；

点P在圆上 ⇔d＝r；

点P在圆外⇔d＞r.

垂径定理

1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线．

2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进

行求解．

圆的基本性质中常见的

基本图形

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

1°弧的概念

1°圆心角所对的弧叫做 1°弧．

一、圆的概念

1、如图，AB，CD 是⊙O的两条弦，∠AOB 与∠C互补，∠COD 与∠A相等，则∠AOB 的度数是__108°__．

【解析】 ∵∠AOB 与∠C互补，

∴∠C＝∠D＝180°－∠AOB，

∴∠COD＝180°－2∠C＝2∠AOB－180°，

∵∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)，∠COD＝∠A，

∴2∠AOB－180°＝(180°－∠AOB)，

解得∠AOB＝108°.

2、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝1，BC＝3.若此梯形的顶点 A，B恰好在

圆O的直径 MN 上， C，D在圆 O上，则圆 O的直径等于__2__．

【思路生成】首先连结 OC，OD，然后设 OC＝OD＝x，OB＝y，由在 Rt△OAD 中，OA2＋AD2＝OD2，

在Rt△OBC 中，OB2＋BC2＝OC2，可得方程组即可求得圆 O的直径．

答图[来源:学科网]

【解析】如答图，连结 OC，OD，∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠AB C＝90°，∴∠OAD＝90°，∠OBC＝

90°，设 OC＝OD＝x，OB＝y，在 Rt△OAD 中，OA2＋AD2＝OD2，在 Rt△OBC 中，OB2＋BC2＝OC2，∵A

D＝2，AB＝1，BC＝3，∴解得∴圆 O的直径等于 2.

二、垂径定理

1、如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D和正方形 JKLM 的顶点 K，L在一个以 5为半径的圆 O上，点 J，M

在线段 BC 上，若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 JKLM 的边长．

【思路生成】作 ON⊥AD 于N，OH⊥KL 于H，连结 OD，OL，根据勾股定理和垂径定理求出 ON，列

出方程，解方程即可．

答图

解：如答图，过点 O作直线 OP⊥BC，分别交 BC，KL，AD 于点 P，H，N，则 ON⊥AD，OH⊥KL，

连结 DO，LO，在 Rt△NOD 中，ON＝＝＝4，OP＝PN－ON＝2.设HL＝x，则 PH＝KL＝2x，OH＝OP＋P

H＝2＋2x.

在Rt△HOL 中，x2＋(2x＋2)2＝52，解得 x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形 JKLM 的边长为.

2、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为 16，则圆的半径为(　D　)

[来源:Z§xx§k.Com]

A．3 B．16

C．16 D．5

【解析】如答图，设圆心为 O，连结 OC，OD，延长 BO 与正方形的边交于点 A，

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