《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题01 圆周角定理在圆中的应用(解析版)

3.0 envi 2025-04-21 4 4 415.38KB 12 页 3知币
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专题 01 圆周角定理在圆中的应用
一、圆周角定理
1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：(1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
(3)圆内接四边形对角互补．
圆周角定理
在圆中求有关角的问题时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手：在进行角度转换时，还应特
别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或
利用中间的线段进行等线段转换．
1、如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,连接 BD.则∠CBD 的度数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 A
解析∵在正六边形 ABCDEF 中, BCD=∠
(6-2)×180°
6
=120°,BC=CD,
∴∠CBD=
1
2
(180°-120°)=30°,故选 A.
2、如图，已知 O为△ABC 的外心，AD 为BC 上的高，∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，则∠OAD 为(　A　)
A．32° B．26°
C．28° D．34°
【解析】 如答图，连结 OB，
1
答图
∵∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，
∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝76°，
∴∠AOB＝2∠C＝152°，
∵OA＝OB，AD 为BC 上的高，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝14° ，∠CAD＝90°－∠C＝14°，∴∠OAD＝∠CAB－∠OAB－∠CAD＝32°.
3、如图，点 A，B，C，D，E均在⊙O上，∠A＝30°，∠O＝48°，则∠E＝__54__°.
【思路生成】连结 BO，利用圆周角定理可求出∠BOC，则得到∠BOD 的度数，再次利用圆周角定理可
求出∠E.
答图
【解析】 连结 BO，如答图，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
2
∴∠BOC＝2×30°＝60°，
又∵∠E＝∠BOD＝(∠BOC＋∠COD)，
∠COD＝48°，
∴∠E＝×(60°＋48° )＝54°.
4、如图，AB 为⊙O的直径，点 C在⊙O上，延长 BC 至点D，使 DC＝CB.延长 DA 与⊙O的另一个交点为
E，连结 AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求 CE 的长．
解：(1)证明：∵AB 为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；
(2)设BC＝x，则 AC＝x－2.
在Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，
解得 x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋.
二、直径所对的圆周角
“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法．
圆周角定理的运用，常见的基本图形如下图所示．
3
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