《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题01 以三角形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

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专题 01 以三角形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

1、如图 1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点 B 在线段 AE 上，点 C 在线段 AD 上．

（1）请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系： BE=CD ；

（2）如图 2，将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角 α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；

②当 AC= ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角 α，使以 A、B、C、D 四点为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出角 α 的度数；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；

（2）①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE 与△CAD 中，，

∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②∵以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC= ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或 360°-90°-45°=225°，

∴角 α 的度数是 45°或 225°．

等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，

综合性较强

2、如图①，在 Rt△ABC 和 Rt△EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB 与 EC 交于 F，ED 与 AB、BC

分别交于 M、H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图②，Rt△ABC 不动，将 Rt△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形 ACDM 的形状，并证明你

的结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，

在△ACF 和△DCH 中，，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；

（2）四边形 ACDM 是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，

∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，

∴四边形 ACDM 是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形 ACDM 是菱形．

【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的

角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。

【针对训练】

1、如图，在平面直角坐标系中，

为原点，点

（0，4），

（﹣4，0），

（4，0）．

（Ⅰ）如图①，若∠

BAD

＝15°，

＝3，求点

的坐标；

（Ⅱ）如图②，

＝2，将△

ABD

绕点

逆时针方向旋转得到△

ACE

，点

，

的对应点分别为

，

．连

接

，

的延长线与

相交于点

．

①求

的长；

②证明：

⊥

．

（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△

ADE

绕点

在平面内旋转一周，在旋转过程中点

，

的对应点分别为

1，

1，点

，

分别为

1，

的中点，请直接写出△

OPN

面积

的变化范围．

解：（Ⅰ）∵

＝

＝4，∠

AOB

＝90°，

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