《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题01 固定边的直角三角形与二次函数问题(解析版)

3.0 envi 2025-04-21 4 4 382.03KB 27 页 3知币
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专题 01 固定边的直角三角形与二次函数问题
1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C为 (－
1，0)．如图 17 所示，B点在抛物线
2
1 1 2
2 2
y x x  
图象上，过点 B作BD⊥x轴，垂足为 D，且 B点横
坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求 BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
1 1
2 2
y x 
（3）存在，P1（
1
2
，
1
4
）、P2（
1
2
，
9
4
）
【解析】
解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC 为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC 和△COA 中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
1
∴△BDC COA≌△ （AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC 所在直线的函数关系式为 y＝kx＋b，
∴
-k+b=0
3 1
{
k b  
，解得
1
k=- 2
1
2
{
b
。∴BC 所在直线的函数关系式为 y＝－
1
2
x－
1
2
。
（3）存在 。
∵y＝
1
2
x2＋
1
2
x－2＝
1
2
(x＋
1
2
)2x－
，∴对称轴为直线 x＝－
1
2
。
若以 AC 为直角边，点 C为直角顶点，对称轴上有一点 P1，使 CP1AC⊥，
∵BC AC⊥，∴点 P1为直线 BC 与对轴称直线 x＝－
1
2
的交点。
由题意可得：
1 1
y=- 2 2
1
2
{x
x
， 解得，
1
y=- 4
1
2
{
x
。∴P1（－
1
2
，－
1
4
）。
若以 AC 为直角边，点 A为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使 AP2AC⊥，
则过点 A作A P2BC∥，交对轴称直线 x＝－
1
2
于点 P2，
2
∵CD＝OA，∴A（0，2）。
设直线 AP2的解析式为：y＝－
1
2
x＋m，把 A（0，2）代入得 m＝2。
∴直线 AP2的解析式为：y＝－
1
2
x＋2。
由题意可得：
1
y=- 2
2
1
2
{
x
x
，解得，
9
y= 4
1
2
{
x
。∴P2（－
1
2
，
9
4
）。
∴P点坐标分别为 P1（－
1
2
，－
1
4
）、P2（－
1
2
，
9
4
）。
2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与 x轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴交于 C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M落在对称轴上，求 P
点的坐标．
【答案】（1）y＝x22x 3﹣ ﹣ ；（2）点 P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x 1﹣ ）24﹣ ，
将C（0，﹣3）代入 y＝a（x 1﹣ ）24﹣ ，得：﹣3＝a（0 1﹣ ）24﹣ ，
解得：a＝1，
3
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