《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第18讲 垂径定理（解析版）

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学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
垂径定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
　　
　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
1
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这
五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦
不能是直径）
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
　 1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB＝6 cm，OD＝4 cm，则 DC 的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【思路点拨】
欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.
【答案】D；
【解析】连 OA，由垂径定理知
13cm
2
AD AB 
，
所以在 Rt△AOD 中，
2 2 2 2
4 3 5AO OD AD  
（cm）．
所以 DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：
【变式】如图，⊙O 中，弦 AB⊥弦 CD 于 E，且 AE=3cm，BE=5cm，求圆心 O 到弦 CD 距离。
【答案】
1cm
．
　 2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）
A．MP 与 RN 的大小关系不定 B．MP＝RN C．MP＜RN D．MP＞RN
2
【答案】B；
【解析】比较线段 MP 与 RN 的大小关系，首先可通过测量猜测 MP 与 RN 相等，
而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP≌△ONR，
如果联想到垂径定理，可过 O 作 OE⊥MN 于 E，则 ME＝NE，PE＝RE，
∴ ME－PE＝NE－RE，即 MP＝RN．
【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.
举一反三：
【变式】已知：如图，割线 AC 与圆 O 交于点 B、C，割线 AD 过圆心 O. 若圆 O 的半径是 5，且
30DAC
 
，AD=13. 求弦 BC 的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
　 3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m，拱的半径为 13m，则拱高为（
）
A．5m B．8m C．7m D．
5 3
m
【思路点拨】
解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题
转化为数学问题中的已知条件和问题．
【答案】B；
【解析】如图 2，
AB
表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为
AB
的中点，
CD⊥AB 于 D，CD 表示拱高，O 为
AB
的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O 三点共线，且 OC 平分 AB．
在 Rt△AOD 中，OA＝13，AD＝12，则 OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．
∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为 8m．
【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理
3
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