《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第12讲 实际问题与二次函数（解析版）

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学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
实际问题与二次函数
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量
关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线
的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系
式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系
式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在
的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题
1
时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
1．某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销
量m(件)与每件的销售价 x(元)满足一次函数：m＝162-3x．
(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润 y与每件的销售价 x 之间的函数关系；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
【思路点拨】
(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；
(2)利用配方法求售价及最大销售利润.
【答案与解析】
(1)∵ 每件商品利润为(x-30)元．
∴ 销售 m 件商品利润为 m(x-30)元，
又∵ m＝162-3x，
∴ 每天利润 y＝(162-3x)(x-30)．
即 y＝-3x2+252x-4860．
(2)∵ y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，
又∵ a＝-3＜0，∴ 当 x＝42 时， ＝432(元)．
答：(1)函数关系式为 y＝-3x2+252x-4860；(2)每件商品售价 42 元时，可获得最大利润，
每天最大利润是 432 元．
【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；
2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求
解．
举一反三：
【变式】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过
45%，经试销发现，销售量
y
（件）与销售单价
x
（元）符合一次函数
bkxy
，且
65x
时，
55y
；
75x
时，
45y
．
（1）若该商场获利为 w 元，试写出利润 w与销售单价 x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可
以获利最大，最大利润为多少元？
2
（2）若该商场获利不低于 500 元，试确定销售单价
x
的范围．
【答案】
（1）据题意列
bk
bk
7545
6555
，解得
120
1
b
k
∴
120xy
，
∴W
=
)60)(120( xx
=
=
900)90(
2
x
又∵60≤
x
≤60×（1+45%），即 60≤
x
≤87，则
x
=87 时获利最多
将x=87 代入，得
W
=－（87-90）2+900=891元 .
（2）
5007200180
2
xx
，即
07700180
2
xx
0)110)(70( xx
11070
0110
070
x
x
x
或
70
110
0110
070
x
x
x
x
（舍）
则
11070 x
，但
8760 x
∴
8770 x
答：略.
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进
行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 y1(元)与销售月份 x (月)满足关系式 ，而其
每千克成本 (元)与销售月份 x(月)满足的函数关系如图所示．
(1)试确定 b，c的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润 y(元)与销售月份 x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范
围)
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
【答案与解析】
3
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