《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第11讲 用函数观点看一元二次方程（原卷版）

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学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
用函数观点看一元二次方程
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方
程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求 中 x 的
值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴的交点
的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象 与 x 轴的交点坐标 根的情况
△＞0
抛 物 线 与 x
轴 交 于 ， 两
点，且 ，
此时称抛物线与 x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛 物 线 与 x
一元二次方程
有 两 个 相 等 的 实 数 根
1
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与 x 轴相切
△＜0
抛 物 线 与 x
轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
　要点诠释：
　　 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定的.
　 (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与 y 轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与 y 轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的解
的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方
程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与 x 轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表
格的形式求出相应的 y 值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近 0 的 y 值所对应的 x 值即是一元二
次方 的近似根．
要点诠释：
　　求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 的根；
　(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的横
坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标系
中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的根.
要点三、抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0 时，设抛物线 与 x 轴的两个交点为 A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解集 不等式 的解
3
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