《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第10讲 待定系数法求二次函数的解析式（解析版）

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学科教师辅导教案
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授课日期及时段
教学内容
待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数
三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： (a，b，c 为常数，a≠0)；
(2)顶点式： (a，h，k 为常数，a≠0)；
(3)交点式： ( ， 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，
或 ，其中 a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程
(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，
可设函数的解析式为 ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函
数的解析式为 ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析
1
式为 ．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.
【答案与解析】
本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：
539
3
9
cba
cba
cba
解得
5
3
1
c
b
a
　　
∴所求的二次函数的解析式为 y=-x2+3x-5.
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).
举一反三：
【变式】已知：抛物线 经过
A
（0， ），
B
（1， ），C（ ， ）三点，求它的顶点
坐标及对称轴．
【答案】设
y=ax2+bx−5
(a≠0)，据题意列
{
−3=a+b−5
−11=a−b−5
，解得
{
a=−2
b=4
，
所得函数为
y=−2x2+4x−5
对称轴方程：
x=1
，顶点
.
2．已知二次函数的图象以 A（－1，4）为顶点，且过点 B（2，－5），求该函数的关系式.
【答案与解析】
设该函数解析式为 y=a(x+1)2+4(a≠0).因为函数经过点（2，－5），
则：a(2+1)2+4=-5，解得 a=-1 所以该函数的关系式为 y=-(x+1)2+4，即 y=-x2-2x+3.
【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.
举一反三：
【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 .
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移
后所得图象与 轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1） ．
（2）令 ，得 ，解方程，得 ， ．
∴二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 ．
2
∴二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为 .
3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【答案与解析】
解法一：设二次函数解析式为 (a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．
则有 解得
∴ 抛物线解析式为 ．
解法二：设抛物线解析式为 (a≠0)．
由图象知，抛物线与 x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．
则有 ，即 ．
又 ，∴ ．
∴ 抛抛物物解析式为 ．
解法三：设二次函数解析式为 (a≠0)．
则有 ，将点(3，0)，(0，3)代入得
解得
∴ 二次函数解析式为 ，即 ．
【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，
一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与 y 轴交于点 C．
3
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