《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第8讲 二次函数y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质（解析版）

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学科教师辅导教案
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教学内容
二次函数 y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数
2
( )y a x h k  
(a、h、k 常数，a≠0)的图象．掌握抛物线
2
( )y a x h k  
与
2
y ax
图象之间的关系；
2.熟练掌握函数
2
( )y a x h k  
的有关性质，并能用函数
2
( )y a x h k  
的性质解决一些实际问题；
3.经历探索
2
( )y a x h k  
的图象及性质的过程，体验
2
( )y a x h k  
与
2
y ax
、
2
y ax k 
、
2
( )y a x h 
之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数 与函数 的图象与性质
1.函数 的图象与性质
2.函数 的图象与性质
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
 
0h，
x=h
时，
y
随
x
的增大而增大；
时，
y
随
x
的增大而减小；
时，
y
有最小值
0
．
向下
 
0h，
x=h
时，
y
随
x
的增大而减小；
时，
y
随
x
的增大而增大；
时，
y
有最大值
0
．
1
要 点
诠
释：
二次函数
2
( ) + ( 0y a x h k a  ≠ ）
的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性
质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
 
2
y a x h k  
，确定其顶点坐标
 
h k，
；
⑵ 保持抛物线
2
y ax
的形状不变，将其顶点平移到
 
h k，
处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下
减”．
要点诠释：
⑴
cbxaxy 2
沿
y
轴平移:向上（下）平移
m
个单位，
cbxaxy 2
变成
mcbxaxy 2
（或
mcbxaxy 2
）
⑵
cbxaxy 2
沿 x 轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
cbxaxy 2
变成
cmxbmxay )()( 2
（或
cmxbmxay )()( 2
）
【典型例题】
类型一、二次函数 图象及性质
1．将抛物线
2
2( 1) 3y x  
作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
 
h k，
x=h
时，
y
随
x
的增大而增大；
时，
y
随
x
的增大而减小；
时，
y
有最小值
k
．
向下
 
h k，
x=h
时，
y
随
x
的增大而减小；
时，
y
随
x
的增大而增大；
时，
y
有最大值
k
．
2
(1)向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位；
(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；
(3)以 x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．
【答案与解析】
抛物线
2
2( 1) 3y x  
的顶点为(1，3)．
(1)将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所
以 a＝2，得到抛物线解析式为
2 2
2( 1) 2 4 2y x x x  
．
(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则
2a 
，
所得抛物线解析式为
2 2
2( 1) 3 2 4 1y x x x   
．
(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于 x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向，
∴
2a 
．故所得抛物线解析式为
2 2
2( 1) 3 2 4 5y x x x   
．
【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于 a 的符号，故可利用移动后
的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．
举一反三：
【变式】把二次函数
2
( )y a x h k  
的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数
2
1( 1) 1
2
y x 
的图象．
（1）试确定
a
、
h
、
k
的值；
（2）指出二次函数
2
( )y a x h k  
的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】（1）
1, 1, 5
2
a h k   
.（2）开口向下，对称轴 x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当 x≥1 时，
y
随
x
的增大而减小； 当 x＜1 时，
y
随
x
的增大而增大.
2．把抛物线 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 ，
求 b，c 的值.
【答案与解析】
根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14,　 所以
【总结升华】把抛物线 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 ，
也就意味着把抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛物线 .
举一反三：
3
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