《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第7讲 二次函数y=ax^2(a≠0)与y=ax^2＋c(a≠0)的图象与性质（解析版）

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教学内容
二次函数 y=ax2(a≠0)与 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数 y=ax2(a≠0) 与
 
20y ax c a 
的图象，并结合图象理解抛物线、对称
轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二 次函数 y=ax2(a≠0) 与
 
20y ax c a 
的图象的性质 ，掌 握二次函 数
 
20y ax a 
与
 
20y ax c a 
之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数.
　　若 b=0，则 y=ax2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而 y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；② （a≠0）；③ （a≠0）；④
（a≠0），其中 ；⑤ （a≠0）.
1
要点诠释：
如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二次函数
了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
2
y ax bx c  
（
a
，
b
，
c
为常数，
0a
）；
2. 顶点式：
2
( )y a x h k  
（
a
，
h
，
k
为常数，
0a
）；
3. 两根式：
1 2
( )( )y a x x x x 
（
0a
，
，
2
x
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）（或称交点式）.
要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有
抛物线与
x
轴有交点，即
24 0b ac 
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这
三种形式可以互化.
要点二、二次函数 y=ax2（a≠0）的图象及性质
1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数 y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做
抛物线.
因为抛物线 y=x2关于 y 轴对称，所以 y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的
顶点，从图上看，抛物线 y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物 线
y=x2有最低点，所以函数 y=x2有最小值，它的最小值就是最低点 的
纵坐标.
2.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数 y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的值，然后
计算出对应的 y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数 y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数 y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称
轴是 y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把 y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点.
2
3.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数
　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2a>0 向上 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随
x 增大而增大；
　　x<0 时，y 随
x 增大而减小.
　当 x=0
时，y 最小=0
y=ax2a<0 向下 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随
x 增大而减小；
　　x<0 时，y 随
x 增大而增大.
　当 x=0
时，y 最大=0
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，ñ图象两边越靠近 x 轴.
要点三、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
0a
（2）
0a
j
j
3
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