《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第5讲 一元二次方程的应用（解析版）

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学科教师辅导教案
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授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
一元二次方程的应用
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一
般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节：
　　　一是整体地、系统地审题；
　　　二是把握问题中的等量关系；
　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是 0、1、2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
1
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差 1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-2，x+2.
2.平均变化率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降
低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.
　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
　　本息和：本金和利息的和叫本息和.
　　期数：存入银行的时间叫期数.
　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
　　利息=本金×利率×期数
　　利息税=利息×税率
　　本金×(1+利率×期数)=本息和
　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　
5.形积问题
　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图
形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
2
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实
际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】
设其中一个数为 x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4 时 12-x＝8；
当x＝8 时 12-x＝4．
所以这两个数是 4和8．
【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为 x，那么另一个数便可以用 x 表示出来，然后
根据题目条件建立方程求解．
1. 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为 14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数
字的积还大 38，求这个两位数．
【答案与解析】
设个位数字为 x，则十位数字为 14-x，两数字之积为 x(14-x)，
两个数字颠倒后的数为 10x+(14-x)．
根据题意，得10x+(14-x)-x(14-x)＝38．
整理，得x2-5x-24＝0，
∴ (x-8)(x+3)＝0，∴ x1＝8，x2＝-3．
∵ 个位上的数字不可能是负数，∴ x＝-3 舍去．
当x＝8 时，14-x＝6，∴ 原数为 68．
答：这个两位数是 68．
【 总 结 升 华 】数 字 排列 问 题 常 采 取 间接设 未 知 数 的 方 法求 解 ．注 意 数 字 只 有
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个，其他如分数、负数解不符合实际意义，必须舍去．
举一反三：
【变式】有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为
x
，则十位数字为
( 2)x
.
由题意，得：
10( 2)+ 3 ( 2)x x x x 
整理，得：
2
3 17 20 0x x  
解方程，得：
(3 5)( 4) 0x x  
3
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