《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第2讲 一元二次方程的解法（二）——配方法（解析版）

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学科教师辅导教案
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授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
一元二次方程的解法（二）配方法
【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程
的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： .
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为 的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无
实数解.
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式
2 2 2
2 ( )a ab b a b  
．
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比
较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定
字母的取值．
1
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也
有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等
关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1.用配方法解方程：
2x2+3x 1=0﹣ 2x24x 3=0﹣ ﹣ ； 3x212x 3=0.﹣ ﹣
【思路点拨】
方程的次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是关键的一步．
配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
2
( ) ( 0)mx n P P 
的形
式，然后用直接开平方法求解．
【答案与解析】
解：2x2+3x 1=0﹣
x2+
x2+
）
x+
x1=
解：∵2x24x 3=0﹣ ﹣ ，
∴ ，
∴ ，
∴x 1=±﹣ ，
∴ ．
3x212x 3=0﹣ ﹣ ，
2
3x212x=3﹣ ，
x24x=1﹣ ，
x24x+4=1+4﹣ ，
（x 2﹣ ）2=5，
x 2=﹣ ，
x1=2+ ，x2=2﹣ ；
【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：
　　 (1)把形如 ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为 1；
　　 (2)把常数项移到方程的右边；
　 　(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；
　　 (4)用直接开平方的方法解此题．
举一反三：
【变式】用配方法解方程.
　 　(1)x2-4x-2=0； 　 (2)x2+6x+8=0. (3)
【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．
　　　　　 两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．
　　　　　 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．
　　　　　 解这个方程，得 x-2= 或 x-2=- ．
　　　　　 于是，原方程的根为 x=2+ 或 x=2- ．
　　 　(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．
　　　　　 两边都加“一次项系数一半的平方” =32，得 x2+6x+32=-8+32，
　　　　　 ∴ (x+3)2=1．
　　　　　 用直接开平方法，得 x+3=±1，
　　　　　 ∴ x=-2 或 x=-4．
（3）
20x px q  
2 2 2
( ) ( )
2 2
p p
x px q  
2
24
( )
2 4
p p q
x
 
①当
24 0p q≥
时，此方程有实数解，
2 2
1 2
4 4
,
2 2
p p q p p q
x x
 
 
；
②当
24 0p q＜
时，此方程无实数解.
3
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