《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第1讲 一元二次方程及其解法（一）直接开平方法（解析版）

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学科教师辅导教案
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授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；
2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次
方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次
数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元
二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前
面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是一
1
元二次方程 的一个根，则 a+b+c=0.
（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=-1；反之也成立，即若 x=-1 是
一元二次方程 的一个根，则 a-b+c=0.
（3）若一元二次方程 有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一元二
次方程 必有一根为 0.
要点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解.
　　　 　若 ，则 ；表示为 ，有两个不等实数根；
　　　 　若 ，则 x=O；表示为 ，有两个相等的实数根；
　　　 　若 ，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的
完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【典型例题】
类型一、关于一元二次方程的判定
1．判定下列方程是不是一元二次方程:
　　(1) ； 　(2) ．
　
【答案】（1）是；（2）不是.
【解析】(1)整理原方程，得
2
　　 　　　 ，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次项的系数 ，所以原方程是一元二次方程．
　　　　(2)整理原方程，得
　　 　　　 ，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次项的系数为 ，所以原方程不是一元二次方程．
【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数
的最
高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
举一反三：
【高清 ID 号：388447
关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】
【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．
①
2
1x x 
；②
2
9 6 0x x 
；③
2
10
2y
；④
2
1
5 4 0
2
xx
 
；
⑤
2 2
3 0x xy y 
；⑥
2
3 2y
；⑦
2
( 1)( 1)x x x  
．
【答案】②③⑥.
【解析】①
2
1x x 
不是方程；④
2
1
5 4 0
2
xx
 
不是整式方程；⑤
2 2
3 0x xy y 
含有 2 个未知数，
不是一元方程；⑦
2
( 1)( 1)x x x  
化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥ 符合一元二次方程
的定义．
类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
　　(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．
【答案与解析】
(1)两边都乘-1，就得到方程
　　　 3x2+4x-2=0．
　　　 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．
　　(2)两边同乘-12，得到整数系数方程
3
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