《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训五十二：圆中计算综合（三） 解析版

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计算力专训五十二、圆中计算综合（三）
牛刀小试
1．（2019·辽宁双台子·初三月考）如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB 是⊙O的直径，OF⊥AB，交
AC 于点 F，点 E在AB 的延长线上，射线 EM 经过点 C，且∠ACE+∠AFO=180°.
（1）求证：EM 是⊙O的切线；
（2）若∠A=∠E,BC= ，求阴影部分的面积.（结果保留 和根号）.
【答案】（1）详见解析；（2） ；
【解析】
【分析】
（1）连接 OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+ A∠，根据等腰
三角形的性质得到∠OCE=90°，得到 OC CE⊥，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO= BCE∠，得到△BOC 是等边三角形，根据扇形和三
角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
：（1）连接 OC，
OF AB∵ ⊥ ，
1
AOF=90°∴∠ ，
A+ AFO+90°=180°∴∠ ∠ ，
ACE+ AFO=180°∵∠ ∠ ，
ACE=90°+ A∴∠ ∠ ，
OA=OC∵，
A= ACO∴∠ ∠ ，
ACE=90°+ ACO= ACO+ OCE∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
OCE=90°∴∠ ，
OC CE∴ ⊥ ，
EM∴是⊙O的切线；
（2）∵AB 是⊙O的直径，
ACB=90°∴∠ ，
ACO+ BCO= BCE+ BCO=90°∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
ACO= BCE∴∠ ∠ ，
A= E∵∠ ∠ ，
A= ACO= BCE= E∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
ABC= BCO+ E=2 A∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
A=30°∴∠ ，
BOC=60°∴∠ ，
BOC∴△是等边三角形，
OB=BC=∴，
∴阴影部分的面积=，
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接 OC 是解题的关键．
2
2．（2018·江苏相城·初三期中）如图，AM 为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点 B作BD⊥AM 于点
D，BD 交⊙O于C，OC 平分∠AOB．
（1）求∠AOB 的度数；
（2）若线段 CD 的长为 2cm，求 的长度．
【答案】（1）120°；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 AM 为圆 O的切线，利用切线的性质得到 OA 与AM 垂直，再由 BD 与AM 垂直，得到 OA 与BD
平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由 OC 为角平分线得到一对角相等，以及 OB=OC，
利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC= OBC= OCB=60∠ ∠ °，即可得出答案；
（2）过点 O作OE BD⊥，垂足为 E，由题意可证四边形 ADEO 是矩形，可得 OA=DE，即可求
CD=CE=2cm，可得 OA=4cm，根据弧长公式可求弧 AB 的长度．
【详解】
解：（1）∵AM 为圆 O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴∠OAD＝∠BDM＝90°，
∴OA∥BD，
3
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