《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训五十：圆中计算综合（一） 解析版

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计算力专训五十、圆中计算综合（一）
牛刀小试
1．（2020·德州市第九中学初三期中）如图，已知 P是⊙O外一点，PO 交圆 O于点 C，OC=CP=2，弦
AB⊥OC，劣弧 AB 的度数为 120°，连接 PB．
（1）求 BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O的切线．
【答案】（1）2（2）见解析
【解析】
解：（1）连接 OB，
∵弦 AB OC⊥，劣弧 AB 的度数为 120°，
∴弧 BC 与弧 AC 的度数为：60°．∴∠BOC=60°．
1
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形．
∵OC =2，∴BC=OC=2．
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．
∴∠CBP= CPB∠．
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC= OCB=60°∠．∴∠CBP=30°．
∴∠OBP= CBP+ OBC=90°∠ ∠ ．∴OB BP⊥．
∵点 B在⊙O上，∴PB 是⊙O的切线．
（1）连接 OB，由弦 AB OC⊥，劣弧 AB 的度数为 120°，易证得△OBC 是等边三角形，则可求得 BC 的长．
（2）由 OC=CP=2，△OBC 是等边三角形，可求得 BC=CP，即可得∠P= CBP∠，又由等边三角形的性质，
∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得 OB BP⊥，从而证得 PB 是⊙O的切线．
2．（2020·潮州市潮安区雅博学校初三一模）如图，AB 是圆 O的直径，O为圆心，AD、BD 是半圆的弦，
且∠PDA=∠PBD．延长 PD 交圆的切线 BE 于点 E
(1)判断直线 PD 是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD= ，求 PA 的长；
(3)将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF，点 F正好在圆 O上，如图 2，求证：四边形 DFBE 为菱
形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
2
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，由 AB 是圆 O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线 PD
为⊙O的切线；
（2）根据 BE 是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由 PD 为⊙O的切线，得∠PDO=90°，
根据三角函数的定义求得 OD，由勾股定理得 OP，即可得出 PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由 AB 是圆 O的直径，得∠ADB=90°，设
∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出 x的值，可得出
△BDE 是等边三角形．进而证出四边形 DFBE 为菱形．
【详解】
解：（1）直线 PD 为⊙O的切线，
理由如下：
如图 1，连接 OD，
∵AB 是圆 O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
3
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