《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训14 一元二次方程的应用：面积问题（解析版）

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计算力专训十四、一元二次方程的应用：面积问题
牛刀小试
1．（2020·淮南市龙湖中学月考）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样
的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去
的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6 4×6x=32﹣B．（10 2x﹣ ）（6 2x﹣ ）=32
C．（10 x﹣ ）（6 x﹣ ）=32 D．10×6 4x﹣2=32
【答案】B
【解析】
分析：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的
面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选 B．
【点睛】：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
2．（2020·合肥一六八中学初二月考）如图，在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么 满足的方
程是（ ）
1
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2 个纸边的宽度)×(风景画的
宽+2 个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】
依题意，设金色纸边的宽为 ，则：
，
整理得出： ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题
意列出方程是解题关键．
3．（2020·黄山市徽州区第二中学初三一模）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上
修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．若设道路的宽为 xm，则下面所
列方程正确的是（　　）
2
A．（32 2x﹣ ）（20 x﹣ ）=570 B．32x+2×20x=32×20 570﹣
C．（32 x﹣ ）（20 x﹣ ）=32×20 570﹣D．32x+2×20x 2x﹣2=570
【答案】A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 xm，根据草坪的面积是 570m2，即可列出方程:(32−2x)
(20−x)=570，
故选 A.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形
变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
4．（2018·安徽安庆·中考模拟）如图，在宽度为 20m，长为 32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴
影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽．如果设小路宽为 xm，根据题意，
所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540
【答案】C
【解析】
【分析】
设小路宽为 x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣
x）（20﹣x）米 2，进而即可列出方程，求出答案．
3
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