《九年级数学上册二次函数高分突破（人教版）》专题07 二次函数利润（解析版）

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专题 07 二次函数利润
【知识梳理】
（Ⅰ）解答这类题的关键是将实际问题转化求函数最值问题，解这类题，既要看到销售价格对销售
量的影响，也要看到销售价格对单件商品 利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售
总利润产生 影响。
（Ⅱ）利润公式：总利润=单个利润×销售量=总销售额-总成本；
单个利润=售价-进价；
（Ⅲ）利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题,一般方法是：
①列出二次函数的表达式，列表达式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
②在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值。
1．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是
160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元．调研发现：
①盆景每增加 1盆，盆景的平均每盆利润减少 2元；每减少 1盆，盆景的平均每盆利润增加 2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x盆，第二期盆景与花卉售
完后的利润分别为 W1，W2（单位：元）．
（1）用含 x的代数式分别表示 W1，W2；
（2）当 x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W最大，最大总利润是多少 ？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加 x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于 x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函
数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加 x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以 W1＝（50+x）（160 2﹣x）＝﹣2x2+60x+8000，
W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
W＝W1+W2
＝﹣2x2+60x+8000 19﹣x+950
＝﹣2x2+41x+8950
1
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且 x为整数，
∴当 x＝10 时，W取得最大值，最大值为 9160，
答：当 x＝10 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W最大，最大总利润是 9160 元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此
列出函数解析式及二次函数的性质．
2．恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地 ．
上市时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在该州收购了 2000 千克香菇存放入冷库中．据预测，香
菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元，
而且香菇在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天有 6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放 x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y元，试写出 y与x之间
的函数关系式．
（2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购
成本﹣各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据等量关系“销售总金额＝（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量﹣6×存放天
数）”列出函数关系式；
（2）按照等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数方程求解即可；
（3）根据等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数关系式并求最大值．
【解答】解：（1）由题意 y与x之间的函数关系式为 y＝（10+0.5x）（2000 6﹣x），
＝﹣3x2+940x+20000（1≤x≤110，且 x为整数）；
（2）由题意得：
﹣3x2+940x+20000 10×2000 340﹣ ﹣ x＝22500
解方程得：x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）
李经理想获得利润 22500 元需将这批香菇存放 50 天后出售；
（3）设利润为 w，由题意得
w＝﹣3x2+940x+20000 10×2000 340﹣ ﹣ x＝﹣3（x100﹣）2+30000
∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴x＝100 时，w最大＝30000
100 天＜110 天
2
∴存放 100 天后出售这批香菇可获得最大利润 30000 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值
公式求出是解题关键．
3．某客商准备购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A型商品的件数是用 7500 元采购 B型商
品的件数的 2倍，一件 A型商品的进价比一件 B型商品的进价多 10 元．
（1）求一件 A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进 A，B型商品共 250 件进行试销，其中 A型商品的件数不大于 B型的件数，且不
小于 20 件．已知 A型商品的售价为 240 元/件，B型商品的售价为 220 元/件，且全部售出．设购进
A型商品 m件，
①写出 m的取值范围　 20≤ m ≤125 　 ；
②求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
（3）若 m的范围与（2）保持一致，但是 A型商品的售价与 A型商品销量之间的关系如下表所示：
A型商品的售价 240 230 220 210 200 ……
A型商品的销量 0 5 10 15 20 ……
B型商品的售价降为210 元/件，且全部售出．设购进 A型商品 m件，求出这批商品的最大利润，并
求出此时的进货方案．
【分析】（1）设一件 B型商品的进价为 x元，则一件 A型商品的进价为（x+10）元．根据 16000
元采购 A型商品的件数是用 7500 元采购 B型商品的件数的 2倍，列出方程即可解决问题；
（2）①根据 A型商品的件数不大于 B型的件数，且不小于 20 件，列出 m的不等式组进行解答；
②根据总利润＝两种商品的利润之和，列一次函数解析，再根据一次函数的性质解答；
（3）从表格可知 A型商品的售价与销量成一次函数关系，用待定系数法求出其关系式，再根据总
利润＝两种商品的利润之和，列二次函数解析，再根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：（1）设一件 B型商品的进价为 x元，则一件 A型商品的进价为（x+10）元．
由题意： ×2，
解得 x＝150，
经检验 x＝150 是分式方程的解，
x+10＝160，
答：一件 B型商品的进价为 150 元，则一件 A型商品的进价为 160 元；
（2）①因为客商购进 A型商品 m件，所以客商购进 B型商品（250﹣m）件．
3
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