《九年级数学上册二次函数高分突破（人教版）》专题05 二次函数代数最值问题（解析版）

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专题 05 二次函数代数最值问题
【知识梳理】
知识梳理一：自变量为任意实数的最值问题
二次函数 y=a x2+bx+c，当x为任意实数时， y的最值
问题
图像
[来源:学∨科∨Z网∨X∨X∨K]a＞0
[来源:学∧科∧网][来源 :Zxxk .Com]a＜0[来源 :学§科§网]
最值 当
x=−b
2a
时，y 最小值=
4ac −b2
4a
当
x=−b
2a
时，y 最大值=
4ac −b2
4a
【例 1】y=3﹣x2+940x+20000 10×2000﹣ ﹣340x
【解答】y＝﹣3x2+940x+20000 10×﹣2000 340﹣x
＝﹣3（x100﹣）2+30000
当x=100 时，y取最大值 30000
【变式 1-1】y＝ （10﹣x）+（﹣ x 2+ x）
【解答】y＝ （10﹣x）+（﹣ x 2+ x）＝﹣ （x﹣）2+
当x= 时，y取最大值
知识梳理二、
1
二次函数 y=a x2+bx+c，当m≤ x ≤ n时 ， y的最值
问题
a＞0
a＜0
当x=m 时，
y取最大值 当x=n 时，
y 取最大值
当x=n 时，
y取最小值 当x=m 时，
y取最小值
当x=m 时，
y取最大值
当x=
−b
2a
时，
y取最大值
当x=
−b
2a
时，
y取最小值
当x=m 时，
y取最小值
当x=n 时，
y取最大值
当x=
−b
2a
时，
y取最大值
当x=
−b
2a
时，
y取最小值
当x=n 时，
y取最小值
当x=n 时，
y取最大值
当x=m 时，
y 取最大值
当x=m 时，
y取最小值
当x=n 时，
y取最小值
【例 2】二次函数 y＝x22﹣x+1 在3≤x≤5 范围内的最小值为 ．
【解答】解：y＝x22﹣x+1＝（x1﹣）2，
2
所以，该二次函数图象的对称轴是 x＝1，且在 3≤x≤5 范围内 y随x的增大而增大，
∴当 x＝3时，y最 小＝（3 1﹣）2＝4．
故答案为 4．
【变式 2-1】设x≥0，y≥0，且 2x+y＝6，则 μ＝x2+2xy+y23﹣x2﹣y的最小值是　 0 　 ．
【解答】解：由题意得：x≥0，y＝6 2﹣x≥0，
解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y23﹣x2﹣y
＝x2+2x（6 2﹣x）+（6 2﹣x）23﹣x2﹣（6 2﹣x）
＝x211﹣x+24
＝ ﹣ ，
∴当 x≤ 时，y随x的增大而减小，
故当 x＝3时，μ的最小值为 ﹣ ＝0．
故答案为：0．
知识梳理三、
对称轴确定 ，自变量取值范围含参的最值问题
【例 3】给定二次函数 y＝（x1﹣）2+1，当 t≤x≤t+1 时，求 y的函数值的最小值．
【解答】函数 y＝（x1﹣）2+1，其对称轴方程为 x＝1，顶点坐标为（1，1），图象开口向
上．下面分类讨论：
（1）如图 1所示，若顶点横坐标在范围 t≤x≤t+1 左侧时，即有 1＜t．此时 y随x的增大而
增大，当 x＝t时，函数取得最小值， ；
（2）如图 2所示，若顶点横坐标在范围 t≤x≤t+1 内时，即 有 t≤1≤t+1，解这个不等式，即
0≤t≤1．此时当 x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1；
3
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