《九年级数学上册二次函数高分突破（人教版）》专题04 二次函数的与方程和不等式的关系（原卷版）

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专题 04 二次函数与方程和不等式的关系
【知识梳理】
知识梳理一、
二次函数 y=a x2+bx+c与一元二次方程 a x2+bx+c=0的关系
交点 2 个 1 个 0 个
图像
交点坐标
x1≠ x2
x1=x2
无
对称轴
x=x1+x2
2[来源 :学科网]
方程文字描述 两个不等实根 两个相等实根 无实根
对应交点描述 两个不同交点 一个交点 没有交点
韦达定理
x1+x2=−b
a
x1x2=c
a
无
△=
b2−4ac
△ ＞ 0 △= 0 △＜ 0
知识梳理二、
需要理解：不等式的解就是函数自变量
x
的取值范围
根的判别式△
Δ=b2−4ac >0
Δ=b2−4ac =0
Δ=b2−4ac ＜0
图像
与
x
轴交点 2 个 1 个[来源:学科网 ZXXK] 0 个
a x2+bx+c>0
的解集情况
x<x1或x>x2
≠ − b
2a
x
取任意实数
a x2+bx+c＜0
的解集情况
x1<x<x2
无解 无解
1
知识梳理三、
二次函数 y=a x2+bx+c − t 与一元二次方程 a x2+bx +c=t的关系
交点 2 个 1 个 0 个
图像
与
y直线 =t
交点
x1≠ x2
x1=x2
无
对称轴
x=x1+x2
2
方程文字描述 两个不等实根 两个相等实根 无实根
对应交点描述 两个不同交点 一个交点 没有交点
韦达定理
x1+x2=−b
a
x1x2=c − t
a
无
△=
b2−4ac
△ ＞ 0 △= 0 △＜ 0
知识梳理四、
二次函数 y=a x2+bx+c − t 与不等式 a x2+bx +c＞t等的关系
需要理解：不等式的解就是函数自变量
x
的取值范围
根的判别式△
Δ=b2−4ac >0
Δ=b2−4ac =0
Δ=b2−4ac ＜0
图像
与
y直线 =t
交点 2 个 1 个 0 个
a x2+bx+c>t
的解集情况
x<x1或x>x2
≠ − b
2a
x
取任意实数
a x2+bx+c＜t
的解集情况
x1<x<x2
无解 无解
知识梳理五、
二次函数 y=a x2+bx+c（a＞0）AB与线段 交点的问题
2
线段 AB 的坐标 A
（
x1
，
y1
）
B
（
x2
，
y2
）
图像
与
AB线段
交点 2 个 1 个 0 个
直线 x=x1与
x=x2
的交 点 C
（
x1
，
m）
D
（
x2
，
n）
点的坐标特征 m＞y1，n＞y2且△＞0 m＜y1，n＞y2且△＞0
或△=0 m＜y1，n＜y2
【例题精讲】
例1．如图，二次函数 y＝ax2﹣ax+c（a、c都是常数且 a≠0）的图象，如果 x＝m时，y＜0，
那么 x＝m1﹣时，函数值（　　）
A．y＝cB．y＜cC．y＞cD．0＜y＜c
例2．二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量 x与函数值 y的部分对
应值如表：
x…﹣10123…
y＝
ax2+bx+c
…p t n t 0…
有下列结论：①b＞0；②关于 x的方程 ax2+bx+c＝0的两个根是 0和3；③p+2t＜0；
④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．二次函数 y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与 x轴的两个交点的横坐标分别为 m和n，
3
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