《九年级数学上册二次函数高分突破（人教版）》专题01 二次函数的解析式（原卷版）

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专题 01 二次函数的解析式

【知识梳理】

知识梳理一、二次函数的解析式有三种常见形式

(1) 一般式： (a，b，c 为常数，a≠0)；

对称轴：_______________ 顶点：_______________

(2) 顶点式： (a，h，k 为常数，a≠0)；

对称轴：_______________ 顶点：_______________

(3)交点式： ( ，为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)．

对称轴：_______________ 顶点：_______________

（交点式教材中已删去，这里进行补充）

知识梳理二、二次函数解析式的常见题型．

（1）列方程直接求解析式

（2）待定系数法求解析式

（3）由图表求解析式

（4）由函数图像求解析式

（5）由实际问题直接列解析式（如：几何图形的面积，利润的表达式等）

（本章重点讲解待定系数法求解析式）

知识梳理三、用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解．

①已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为

；

③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1， 0) ， (x2，0)时，可设函数的解析式为

．

【例题精讲】

例1．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数 y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是

．

例2．若二次函数 y＝ax2+4a x+c的最大值为 4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式

为：　　．

例3．若函数 y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为 8，且形状与抛物线 y＝2x22﹣x+3

相同，则此函数关系式　　．

例4．设抛物线 l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为 D，与 y轴的交点是 C，我们称以 C为顶点，

且过点 D的抛物线为抛物线 l的“伴随抛物线”，请写出抛物线 y＝x24﹣x+1 的伴随抛物

线的解析式　　．

[来源:学§科§网]

例5．已知抛物线 y＝5x2+mx+n与x轴的交点为（，0）和（﹣2，0），则因式分解

5x2+mx+n的结果是　　．

例6．当 k取任意实数时，抛物线 y＝3（x﹣k1﹣）2+k2+2 的顶点所在的函数图象的解析式是

（　　）

A．y＝x2+2 B．y＝x22﹣x+1 C．y＝x22﹣x+3 D．y＝x2+2x3﹣

例7．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原

点O，一个锐角顶点 A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点 B在第二象限，且点 A

的坐标为（2，1）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）判断点 B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．

例8．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点 A（1，2）．[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（1）当 c＝4时，若点 B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；

（2）已知点 M（t2﹣，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求 t的取值范围；

例9．我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线 y

＝x2和y＝（x1﹣）2都是“数轴函数”．

（1）抛物线 y＝x24﹣x+4 和抛物线 y＝x26﹣x是“数轴函数”吗？请说明理由；

（2）若抛物线 y＝2x2+4mx+m2+16 是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．

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