《九年级数学举一反三系列（北师大版）》专题1.7 直角三角形的边角关系章末重难点题型（解析版）

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专题 1.7 直角三角形的边角关系章末重难点题型
【北师大版】
【考点 1 锐角三角函数的定义】
【方法点拨】锐角角 A 的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角 A 的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.
【例 1】（2020•平房区二模）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝α，若 BC＝m，则 AB 的长为（　　）
A．
m
cosα
B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα
【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵
cosα=BC
AB
，
1
∴AB
¿m
cosα
，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
【变式 1-1】（2019 秋•沈河区校级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，下列各组
线段的比不能表示 sin∠BCD 的（　　）
A．
BD
BC
B．
BC
AB
C．
CD
BC
D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴sin∠BCD＝sinA
¿BC
AB =CD
AC =BD
BC
，
即只有选项 C错误，选项 A、B、D都正确，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：
在Rt△ACB 中，∠C＝90°，则 sinA
¿BC
AB
，cosA
¿AC
AB
，tanA
¿BC
AC
，cotA
¿AC
BC
．
【变式 1-2】（2019 秋•包河区期末）如图，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，BD 与CE 相交于 O，则图中线
段的比不能表示 sinA的式子为（　　）
2
A．
BD
AB
B．
CD
OC
C．
AE
AD
D．
BE
OB
【分析】根据 BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答】解：A、∵BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，
∴sinA
¿BD
AB =EC
AC
，故 A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD
¿CD
OC
，故 B不合题意；
C、无法得出 sinA
¿AE
AD
，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE
¿BE
BO
，故 D不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
【变式 1-3】（2020•下城区模拟）如图，△ACB 中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则
BD 的长可表示为（　　）
A．a•（cosαcos﹣β）B．
a
tanβ− tanα
C．acosα
−a⋅sinα
tanβ
D．a•cosα﹣asinα•a•tanβ
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出 BC，DC 的长进而得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα
¿BC
AB =BC
a
，
则BC＝a•cosα，
3
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