《九年级数学讲义上海专用》专题02 三角形、新定义（解析版）

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2020 年上海市 16 区中考数学一模汇编
专题 02 三角形、新定义
一．选择题
1.（黄浦区）在 Rt 中，∠C=90°，如果 AC=2， ，那么 AB 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【详解】解：∵cosA= ，
∴AB=AC· ＝ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键．
2.（黄浦区）如图，在正方形 ABCD 中， 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点
E、F，联结 AC、CP、AC 与BF 相交于点 H，下列结论中错误的是（ ）
A. AE=2DE B. C. D.
【答案】C
【分析】A.利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题．
B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
1
D.利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP 是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故 A正确;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故 B正确;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC 与△PCA 不相似，故 C错误;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴,
∴PC2=PH•PB，故 D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形 30 度角的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.（长宁、金山区）如果点 、 、 分别在边 、 、 上，联结 、 ，且 ，
2
那么下列说法错误的是（ ）
A. 如果 ，那么
B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么
D. 如果 ，那么
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项 A不符合题意；由平行线分线段成比例
定理和已知条件得出选项 B不符合题意；由相似三角形的性质得出 EF 与AB 不平行，选项 C符合题意；
由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项 D不符合题意；即可得出答案．
【详解】如图所示：
A、∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形 ADEF 是平行四边形，△BDE∽△BAC，
∴DE＝AF， ，
∴AF：AC＝BD：AB；选项 A不符合题意；
B、∵DE∥AC，
∴AD：AB＝CE：BC，
∵AD：AB＝CF：AC，
∴CE：BC＝CF：AC，
∴EF∥AB，选项 B不符合题意；
C、∵△EFC∽△ABC，
∴∠CFE＝∠CBA，
∴EF 与AB 不平行，选项 C符合题意；
3
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